<div dir="ltr">Chris Benham proposed IBIFA in May and June, 2010, on the election-methods mailing list:<div><br></div><div><a href="http://lists.electorama.com/pipermail/election-methods-electorama.com/2010-May/091807.html" target="_blank">http://lists.electorama.com/<wbr>pipermail/election-methods-<wbr>electorama.com/2010-May/<wbr>091807.html</a><br></div><div><br></div><div><a href="http://election-methods.electorama.narkive.com/KdBxpweB/irrelevant-ballots-independent-fallback-approval-ibifa" target="_blank">http://election-methods.<wbr>electorama.narkive.com/<wbr>KdBxpweB/irrelevant-ballots-<wbr>independent-fallback-approval-<wbr>ibifa</a><br></div><div><br></div><div><a href="http://wiki.electorama.com/wiki/IBIFA" target="_blank">http://wiki.electorama.com/<wbr>wiki/IBIFA</a><br></div><div><br></div><div>IBIFA is, as originally stated, a "Bucklin-like method meeting Favorite Betrayal and Irrelevant Ballots."  Its key principle is to compare the ballots voting for a candidate at-or-above a particular rating to the most-approved candidate on the complementary ballots.  When the former exceeds the latter, a meaningful threshold has been crossed, unlike the arbitrary 50% threshold of median rating methods.  This is what enables IBIFA to yield the same result if irrelevant ballots are added or dropped.  By construction, IBIFA is cloneproof.</div><div><br></div><div>With this in mind, I realized that a minor modification of IBIFA would make it more like Majority Judgment, reducing later-harm and improving Condorcet consistency (though not completely), while satisfying the same criteria as MJ.</div><div><br></div><div>IBIFA, simply stated, does the following:</div><div><ul><li>Find the highest rating R, for which there is at least one candidate X who is rated <u>at or above level R</u> on more ballots than any candidate is approved on ballots that rate X below R.</li><li>If there is more than one such candidate X, elect the candidate X with the most ballots rating X at R or above.</li><li>If no candidates satisfy the first criterion, for any approved rating R, elect the candidate with the highest approval over all ballots.</li></ul></div><div>My modification is inserted with emphasis added.</div><div><ul><li>Find the highest rating R, for which there is at least one candidate X who is rated <u>at or above level R</u> on more ballots than any candidate is approved on ballots which rate X below R.</li><li>If there is more than one such candidate X, <i>then if there is at least one candidate Y who is rated <u>above R</u> on more ballots than the highest approved candidate on ballots that rate Y below R, elect the candidate Y with the most ballots rating Y above R.</i></li><li><i>Otherwise, </i>elect the candidate X with the most ballots rating X at R or above.</li><li>If no candidates satisfy the first criterion, for any approved rating R, elect the candidate with the highest approval over all ballots.<br></li></ul><div>I call this IBIFA variant "EXACT", because it uses an EXclusive Approval Comparison Threshold.  That is, the candidate compared to X is the one with maximum approval on ballots that <u>exclude</u> votes for X at some rating or above.  Like IBIFA, it is also cloneproof.</div></div><div><br></div><div>For EXACT, it is convenient to keep track of co-approval: the approval for candidates X[j] on a ballot containing candidate X[i] with rating k:</div><div><br></div><div><font face="monospace, monospace">   for ballot in ballots:</font></div><div><font face="monospace, monospace">     for candidate i on ballot with score k:</font></div><div><span style="font-family:monospace,monospace">       if k approved:</span></div><div><span style="font-family:monospace,monospace">         for candidate j on ballot with score m:</span></div><div><span style="font-family:monospace,monospace">           if m approved:</span></div><div><span style="font-family:monospace,monospace">             W[k,i,j] += 1</span></div><div><br></div><div>Note that W[k,i,i] is the total approval for candidate X[i] at rating k, and the total approval for candidate X[i] at rating k and higher is the sum of W[k,i,i] over all approved ratings k.</div><div><br></div><div>It should then be clear that the approval for any candidate j on a ballot that rates X[i] at R or higher is </div><div><br></div><div>      Approval[j] - W[R,i,j] - W[R+1,i,j] ... - W[MaxScore,i,j]</div><div><br></div><div>The EXACT score for a candidate is tuple similar to Majority Judgment's "majority grade":</div><div><br></div><div><blockquote style="margin:0 0 0 40px;border:none;padding:0px"><div>EXACT score for candidate X = (R, S, T)</div><div><br></div></blockquote><blockquote style="margin:0 0 0 40px;border:none;padding:0px"><div>where R is the rating at which X's votes at or above R are greater than the  highest approved candidate on ballots excluding X at R or above.;</div><div><br></div></blockquote><blockquote style="margin:0 0 0 40px;border:none;padding:0px">If the number of ballots with X at rating R+1 and above is greater than those of the highest approved candidate on ballots excluding X at ratings R and above, then S = R+1, and T = votes for X at R+1 and above.<br><br>Otherwise, S = R and T = votes for X at R and above.<br><br></blockquote>By sorting these tuples in descending order, one gets, as with Majority Judgment, an EXACT ranking for the candidates.</div><div><br></div><div>EXACT satisfies all the same properties as Majority Judgment, and in addition, is irrelevant-ballot-immune (IBI).  That is, a ballot containing approval only for non-contending candidates won't affect the results.</div><div><br></div><div>EXACT does require several N^2 arrays for summable storage, but note that no sorting of the ballots is required as with pairwise methods.</div></div>