<div dir="ltr">Let's say that the honest preferences are one of the following two scenarios, and the voters don't know which:<div><br></div><div>35 or 35: A>B>C</div><div>10 or 20: B>A>C</div><div>15 or 05: B>C>A</div><div>40 or 40: C>B>A</div><div><br></div><div>Under SARA, the most naive/honest heuristic would probably be to rate the middle preference "abstain", yielding the following:</div><div><div><br class="gmail-Apple-interchange-newline">35 or 35: A>>B>C</div><div>10 or 20: B>>A>C</div><div>15 or 05: B>>C>A</div><div>40 or 40: C>>B>A</div></div><div><br></div><div>Points: A70, B50, C80.</div><div>This gives a win to C or A, depending on which scenario is true.</div><div><br></div><div>Clearly, if all the B voters truncate, that's sufficient to elect B. But let's say that the B voters are not actually that highly motivated to strategize against their second choice, so they don't do that.</div><div><br></div><div>In scenario 2, the C voters can ensure that A can't win if 25 of them switch to C>B>>A. This would give B 75 points, enough to beat A in scenario 2 but not enough to beat C in scenario 1.</div><div><br></div><div>But if the A voters anticipate this, then they have no hope of winning, even in scenario 2; and thus, to avoid loss in scenario 1, all of them will switch to A>B>>C. In that case, even if none of the C voters actually strategize, B will still get at least 85; enough to win outright. So the following ballots will be stable:</div><div><br></div><div><div>p1 or (1-p1)<br class="gmail-Apple-interchange-newline">35 or 35: A>B>>C at p2 or A>>B>C at (1-p2)</div><div>10 or 20: B>>A>C</div><div>15 or 05: B>>C>A</div><div>15 or 15: C>>B>A</div></div><div>25 or 25: C>B>>A at p3 or C>>B>A at (1-p3).</div><div><br></div><div>Results: (p1, p2, p3: result)</div><div>n,n,n: A</div><div>y,n,n: C</div><div>n,y,n: B</div><div>y,y,n: B</div><div>n,n,y: B</div><div>y,n,y: C</div><div>n,y,y: B</div><div>y,y,y: B</div><div><br></div><div>So if the payoff for B is 0, the A voters face a choice between a payoff of Aa(1-p1)(1-p3)-Ac(p1)(p3). Insofar as B is over 50% of the utility of A, so that Aa (the benefit they get from A winning) is less than Ac (the penalty for C winning), the C voters must leave p3 less than .5 if they are to tempt the A voters to not to give B points. Yet the payoff for the C voters is strictly better the higher p3 is; leaving p low enough to tempt the A voters not to give B points is dominated. Thus, (p2=p3=1 and so B wins with certainty) is the subgame-perfect equilibrium.<br></div><div><br></div><div>If you're looking for a "trembling hand" equilibrium, B will only lose insofar as the hands are very trembly and/or B is the score loser. This seems to me to be a good outcome.</div><div><br></div><div><br></div></div>