<div dir="ltr"><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div>In a recent posting to the EM I gave a graphical description of how the Pereira transformation decomposes a range ballot into a weighted sum of approval ballots.<br><br></div>Now I want to show how to start with ranked preference style ballots and end up with a weighted sum of approval ballots.<br><br></div>First we need a probability distribution for the candidates.  This distribution can be based on pre-election polls, or it can be based on some statistics from a random sample of the ballots, or from the entire set of voted ballots.  To the extent that we us the voted ballots to come up with the distribution, we can consider this method a "DSV" method.<br><br></div>To illustrate the variety of possibilities, I suggest averaging to distributions together: the first distribution is the ordinary random ballot distribution.  The second one that we will call the "implicit approval random ballot distribution."<br><br></div>We're assuming that voters can both truncate and equal rank, whether top, bottom, or any other rank.<br><br></div>Under this assumption, when a voter ranks a candidate above bottom, it shows a certain minimum level of approval that we call "implicit approval."<br><br></div>For the "implicit approval random ballot" probabilities, we contemplate an expriment that starts with drawing a ballot at random.  The set of candidates that are not truncated (i.e. implicitly approved) is the initial value of a set S.  If this set contains more than one member, more ballots are drawn until we get a ballot that implicitly approves one or more of these tmembers of S.  We update S by eliminating the candidates that are not implicitly approved by this new ballot.  We keep drawing more ballots to narrow down S as far as possible (hopefully to a singleton).  Then with a uniform distribution on the remaining members of S, we draw at random the name of one candidate from S.  <br><br></div>The probability that candidate C is the one drawn by this experiment is the probability associated with C in the "implicit approval random ballot" probability distribution.<br><br></div>I suggested above that we average this distribution with the distribution given by the more common random ballot probability distribution.<br><br></div>In my next post I will show how to use such a distribution to change the ballots into range ballots (based on an idea of Joe Weinstein).<br><br></div>To Be Continued...<br></div>