<div dir="ltr"><div><div><div><div><div><div>I like your idea about C*(C-1) factions determined by 1st and 2nd choices.  <br><br></div>I'm sure you've already thought of the obvious way of dealing with top equal and second equal ratiings, but for the record, here it is:<br></div><div><br></div>Suppose the respective scores on a certain ballot B for the respective candidates are<br><br>100%, 100%, 80%, 80%, 80%, 70%, 60%, ...<br><br></div>Each of the six bins in the set {bin(X, Y)| {X,Y} in the Cartesian product of {c1, c2} and {c3, c4, c5}} should get a copy of B with weight 1/6 .  This weight will be used in the respective weighted averages of the ballots in the respective bins.<br><br></div>Also for the record, here is a suggestion for how to turn ordinal (i.e.ranked preference style) ballots into cardinal (i.e. range style) ballots, so that Pereira's transform, and so forth,can be used iin that context:<br><br></div>(1) Find the respective random ballot probabilities p1, p2, ... for the respective candidates c1, c2, ...<br><br></div><div>(2) For each candidate c_i ranked above bottom on ballot B, assign the score r_i = one minus the sum of the p_k such that c_k is ranked strictly above c_i on ballot B.<br><br></div><div>Remarks:  <br><br></div><div>Since there is no candidate ranked above a top ranked candidate, rule (1) gives every top ranked candidate a score of one.<br></div><div><br>Unfortunately step (1) cannot be done at the precinct level, unless we are willing to make do with the precinct estimates of the random ballot probabilities.<br><br></div><div>"Random ballot probabilities" can be interpreted in various ways.  For example we could use the "implicit approval" random ballot model for the respective probabilities.  I like this version better because it would give candidate C a higher rating in the following scenario:<br><br></div><div>45 A1=A2=A3>C<br></div><div>55 B1=B2=B3>C<br><br></div><div>The respective standard random ballot probabilities (.15, .15, .15, .55/3, .55/3, .55/3, 0) would yield score vectors ...<br><br></div><div>45 (1, 1, 1, 0, 0, 0, .55)<br></div><div>55 (0, 0, 0, 1, 1, 1, .45)<br></div><div><br></div><div>Random implicit approval ballot would give C a probability of 1/4 if ties were to be resolved by coin tosses, or p_C=100% if ties were to be resolved by further ballot draws.<br><br></div><div>In the latter case (which I prefer) the probability vector would be<br><br>(0, 0, 0, 0, 0, 0, 1),<br><br>and the resulting score vectors would be<br><br>45  (1, 1, 1, 0, 0, 0, 1)<br>55  (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)<br><br></div><div>In the former case (of coin toss tie breaking) the probability vector would be<br><br>(.11, .11, .11, .14, .14, .14, .25),<br><br></div><div>and the score vectors would be<br></div><div><br></div><div>45 (1, 1, 1, 0, 0, 0, .67)<br>55 (0, 0, 0, 1, 1, 1, .58)<br></div><div><br></div><div>In either case, C is the range winner.<br></div></div><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Tue, Dec 15, 2015 at 9:50 AM, Warren D Smith <span dir="ltr"><<a href="mailto:warren.wds@gmail.com" target="_blank">warren.wds@gmail.com</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">I think this whole "data compression" idea by Forest Simmons for<br>
multiwinner elections is brilliantly simple.<br>
<br>
The obvious first worry about Forest Simmons' idea is that averaging<br>
too-large sets of ballots<br>
as step 1, destroys all hope for proportional representation voting.<br>
<br>
E.g. imagine we averaged ALL the ballots as step 1, then we'd only<br>
have one amalgamated ballot, and from it we clearly would be unable to<br>
elect a PR parliament.<br>
<br>
But Simmons is being smarter about it, he is reducing everything down<br>
to C amalgamated ballots, if C is the number of candidates -- not one.<br>
I.e. he amalgamates all<br>
the ballots that score X highest, for each candidate X.<br>
<br>
And that actually seems acceptable, in the sense that with 100%<br>
"racist" voters in<br>
a situation with "colored" voters and candidates,<br>
you would not lose any information in this way!<br>
Thus, you could still do proportional representation in "racist"<br>
situations, which<br>
by some reckonings is all you need -- i.e. if the definition of PR is "yields<br>
color-proportionality in racist situations."<br>
<br>
However, there would be a problem if we sort of had "2-level racism."<br>
E.g. suppose every voter had both a "color" and a "secondary color."<br>
Ditto for candidates.  Voters give candidates score 7 if agree on<br>
color, and bonus score<br>
3 if  agree on secondary color.<br>
<br>
In that kind of situation, Simmons' "data compression" method would lose<br>
information and presumably lose the ability to deliver (the more<br>
clever sort of) PR<br>
that it ought to.<br>
<br>
Also, Toby Pereira and (at his urging) me too, like to think about<br>
elections in which there are 2 kinds of candidates -- colored and<br>
uncolored -- and voters<br>
give same-color candidates score 10, other-color candidates score 0,<br>
and uncolored candidates get a score that depends only on the candidate not<br>
on the voter.  But it seems to me Simmons' data compression technique<br>
already is lossless for these elections.<br>
<br>
And it seems to me we can devise other "data compression methods"<br>
which do not lose information in the Color+SecondaryColor scenarios.<br>
For example we could amalgamate all ballots which both score X highest,<br>
and score Y highest among candidates getting a lower score than X;<br>
put all those ballots into bin(X,Y), then amalgamate all ballots<br>
within any one bin.<br>
This results in at most (C-1)*C ballots after compression -- and at most<br>
(C-1)*C^2 approval-style ballots after both the compression<br>
and a Pereira transform -- in a C-candidate election.<br>
<br>
The other brilliant thing about Simmonsesque data compression is,<br>
this permits multiwinner PR elections to be "counted in precincts."<br>
<span class="HOEnZb"><font color="#888888"><br>
--<br>
Warren D. Smith<br>
<a href="http://RangeVoting.org" rel="noreferrer" target="_blank">http://RangeVoting.org</a>  <-- add your endorsement (by clicking<br>
"endorse" as 1st step)<br>
</font></span></blockquote></div><br></div>