<div dir="ltr"><div><div><div><div><div><div><div><div><div>Warren has been working on a PR election method for Canada based on range ballots that do not make use of party affiliations.<br><br></div>He has pointed out that by using an idea of Toby Pereira it is possible to convert the voted range ballots into a collection of weighted approval ballots that give the same average scores to the respective candidates as the original range ballots.  Since, as he further pointed out, there are only 2^k (or 2**k for those who remember Fortran) possible approval ballots,when there are k candidates, this may well reduce the number of ballots that you have to handle, if you are willing to make the transformation.<br><br></div>I'll get around to describing Toby's transformation in context below.<br><br></div>But now I want to make a couple of other suggestions:<br><br></div>(1)  Before doing the Toby transformation, for each candidate X let b_X be the average of all of the range ballots that rate X ahead of all other candidates.  In case a ballot rates candidates X, Y, and Z top equal, average that ballot into b_X, b_Y, and b_Z with weights that are the respective random ballot probabilities for deciding among X, Y, and Z.<br><br></div>Think of each of these averages as a weighted ballot, and apply the Toby Transformation to each of them.  That will be at most k transforms, each of which yields at most k approval ballots (with their weights).  So even if here is no duplication, the total number of Approval ballots will be at most k^2 .<br><br></div>Can we do better than this?  Yes if you are willing to accept another transformation between the amalgamation step and the Toby Transforms.  Which brings us to the second idea ...<br><br></div>(2)  We will make use of the idea of "sincere approval strategy."  This strategy takes a range ballot and briefly considers (but rejects in favor of a better idea that becomes apparent only at that stage) the idea of using a random number generator to assist in converting a range ballot B into an approval ballot.  <br><br></div>In this thought experiment suppose that you are trying to decide whether or not to approve candidate i .  If B(i) is zero or 100%, the decision if easy, but if the score r is strictly between zero and one, we ask for a random number between zero and one.  If the number is less than the score r, then we approve candidate i, otherwise not.  This random idea has the merit that, if many voters use it, then statistically speaking, the average of the converted ballots will be very close to their prior average (before they were converted).  A disadvantage is that the variance of the averages is greater. <br><br></div><div>But I remind you we are not going to implement this idea.  We are only going to use one statistic from it:  the expected number of candidates that will be approved when a ballot is subjected to this procedure.  That expectation is the sum of the range scores of the ballot in question. <br><br></div><div>At this point a light dawns; instead of deciding approval on the basis of the random numbers experiments, just take the expected number of approvals, and approve that many candidates, starting at the candidates highly rated by the ballot, and working down.<br><br></div><div>If the expected number E is not a whole number, then there will be a remainder candidate with a range value strictly between 0 and 1.  So we have falied at converting our ballot to an approval ballot.  But it now has at most two levels.  When we apply the Toby transformation at this stage, we get only two approval ballots, one of which approves a subset of the other.<br><br></div><div>If we do this process to the ballots {b_X| X is a candidate}, then we have at most 2k approval ballots.<br><br></div><div>I 'll finish this next time.<br></div><div><br></div></div>