<div dir="ltr"><div><div><div><div><div><div>I have tweaked things slightly in order to
 make things slightly simpler and to make sure that when Range style 
ballots are used the method reduces to standard Range in the one winner 
case.<br><br></div>The general method takes any proportional lottery 
based on score/range (including approval) style ballots and converts it 
into a PR election method.<br><br></div>Recall that a lottery method is a
 system of assigning probabilities to candidates.  A lottery method is 
"proportional" if it assigns probabilities in proportion to the 
respective faction sizes when all faction members vote with 
single-minded and exclusive loyalty in favor of their favorite.<br><br></div>Let's
 suppose that we are in the context of an election where w>0 
candidates are to be elected, and that there is at least one subset of 
candidates W of size w, such that when our lottery method is applied to 
W, all members of W are assigned positive probabilities.  <br><br></div>If there is only one such subset, then that is the subset selected by our method.<br><br></div>Otherwise, for each subset W of candidates of the requisite size w, we do the following steps:<br></div><br>(1)
 Partition the ballots into sets S and S' that do and don't, 
respectively, give at least one candidate of W a positive rating.<br><br><div>(2)
 Let p be the probability that a randomly drawn ballot would be a member
 of the set S.  Let q = 1 - p. [Note this is a change; the definitions 
of p and q have been switched, for esthetic reasons.]<br><br></div><div>(3)
 Let p1, p2, ... be the respective probabilities assigned to the members
 of W by our lottery method, when that method is restricted to the 
ballot set S.<br><br></div><div>(4) Let a1, a2, ... be the respective 
averages of the candidate ballot scores over the respective ballots that
 rate the respective candidates positively. [In case of approval, all of
 these averages will be ones]<br><br></div><div>Having completed these four steps for each candidate set W of size w, elect the set W that maximizes the value of the expression<br><br></div><div>min(a1*p1, a2*p2, ...)*(p),<br><br></div><div>Now I will show you the reason for the tweaks:  suppose that w=1.  Then
 the value of p1 is 1, and the value of a1 is the average rating of W's 
only candidate over the ballots in the set S,  The average rating of W's (only)
 member (over the ballots of S') is zero, so the average score over the union of S and S'
 is the weighted average  a1*p1*p + 0*q, which simplifies to a1*p1*p  . 
 Therefore in the case w=1, the standard range winner wins!<br><br></div><div>We
 have mentioned several of the various random ballot lotteries.  More 
variations are possible.  Ordinal ballots can be used via the "Implicit 
approval cutoff," or with the help of an explicit one.  If the lottery 
is random ballot, the only step needing an approval measure is step (4) 
above.  There are other possible ways to adapt to ordinal ballots 
(ranked preference ballots).<br><br></div><div>There are other 
proportional lotteries besides the random ballot ones.  One is the so 
called Ultimate Lottery, a restricted version of which is called the 
Nash Lottery.  The Nash Lottery Method picks the lottery that maximizes 
the product of the ballot expectations based on the lottery.  It turns 
out that the crucial factor that makes this lottery proportional is the 
"homogeneity" of the ballot expectations in the probabilities.  So if we
 widen the admissible ballots to include any homogeneous functions of 
the probabilities (along with the natural requirement that such 
functions not be decreasing in any of their arguments), then we get the 
Ultimate Lottery Method.<br><br></div><div>Jobst Heitzig has come up 
with many lotteries, with special attention to those with low entropy, 
which makes those lotteries useful in single winner elections.  Why 
would we want to use a lottery in single winner elections?  It turns out
 that the element of chance, when skillfully incorporated, can (more or 
less) remove incentives for insincere voting.  The best known example of
 this is the "benchmark" standard random ballot lottery.  In that method
 there is no incentive for insincere voting, but the resulting lotteries
 tend to be high entropy lotteries, hence not good for single winner 
elections.<br><br></div><div>One of Jobst's best methods has two stages.  <br><br>The
 first stage generates a set of approval ballots from "thresh-hold" 
information supplied by the voters on their ballots.  I won't go into 
the details of this stage, but the voters give tentative approvals that 
allow the method to automatically build approval ballots that would 
back-fire on defectors.<br><br></div><div>The second stage calculates 
the total approvals for the respective candidates and assigns each 
ballot B to the candidate with the greatest total approval of any 
candidate approved on ballot B.  The lottery probabilities are 
proportional to the number of ballots assigned to the respective candidates.<br><br></div><div>For multi-winner purposes we can replace the first stage with direct 
use of approval ballots or by conversion of range ballots into approval 
ballots via Toby's idea or by other ideas, including the "sincere 
approval strategy" technique, for example.<br><br></div><div>Where else can we find suitable proportional lotteries?<br><br></div><div>Andy
 Jennings found that he could take any sequential PR method and convert 
it into a proportional lottery by cloning all of the candidates as many 
times as needed, and allowing a huge number of winners.  Then the 
candidate lottery probabilities are proportional to the number of clones
 they have in the winning circle.<br><br></div><div>In fact, Andy's first application of that technique (to Warren Smith's RRV, a version of sequential PAV adapted to range ballots) turned out to be another way of generating the Nash 
Lottery.<br><br></div><div>More
 recently, Andy and I have seen that there are many ways to convert 
practlcally any single winner method into a sequential PR method.<br><br></div><div>Putting all of this together we have the following diagram:<br><br></div><div>single winner -> sequential PR -> Lottery -> multi-winner PR<br><br></div><div>So
 in a standard way we can convert any single winner method into a 
multi-winner PR method that retains some of the flavor of the single 
winner method.  Why not just stop at the sequential PR stage?  That's 
always a possibility, but sequential methods tend to generate an 
hierarchy among the winners in order of election.  It is sometimes 
better philosophically to have a method that compares (many if not all) 
possible winning sets (including the winning sets generated by various 
sequential PR methods) against each other.<br><br>In this regard, Jameson Quinn has 
just invented (and posted to the EM list) a method that compares candidate subsets on
 the basis of squared "envy" summed over the ballots.<br></div><div><br></div><div class="gmail_extra">Thanks for your patience!<br></div><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote"><br></div><br></div></div>