<div dir="ltr">This is a proportional method which takes approval ballots as inputs. (If you want to use score ballots, you can convert them into approval ballots first)<div><br></div><div>Say you have V voters and S seats to allot. One Hare quota Q is thus V/S. Let's use W to denote a potential set of S winners. This method, as the name suggests, elects the set W which minimizes a "squared envy" measure.</div><div><br></div><div>To calculate "squared envy" for W, we do the following:</div><div><br></div><div>For each candidate w in W, we find the number a(w) of ballots which approve w. From this w, we give each of those ballots a "representation score" of 1/(a(w)+Q). We add up the representation for each ballot across all w. (In other words, we create Q "ghost voters" who approve everything, then divide up one point for each winner among those ballots approving that winner)</div><div><br></div><div>We find the "ideal average representation" IAR. Take the candidate m with the maximum approval a(m), and imagine electing a parliament consisting of S clones of m. The average representation across all voters will then be the product of S/(a(m)+Q) (the representation score for the a(m) voters who would like this) times a(m)/V (the fraction of voters who would like it).</div><div><br></div><div>For each ballot, the "squared envy" is just the square of the difference between the representation they get from W, and the IAR. Any "supersatisfied" ballot which has more representation than the IAR is counted as having zero squared envy. The method elects the set W which minimizes the sum of squared envy.</div><div><br></div><div>The case of "supersatisfied" ballots should be rare. In a partisan election of different-colored factions, the only ballots like that would be a minority which vote for the winning candidates from each party. (If you wanted to absolutely ensure no "supersatisfied" ballots, you could use the ideal maximum representation IMR in place of the IAR as the baseline for representation. This would make the method more "majoritarian"; though it would still be proportional with purely disjoint partisan voting, it would be less IUAC, independent of universally approved candidates. There could be numbers in between the IMR and the IAR which would avoid any supersatisfied voters, but since the IMR is the worst case for that, any other formula which avoided supersatisfaction would lose cloneproofness.)</div><div><br></div><div>If there are no "supersatisfied" ballots, this method is minimizing the mean squared error of the ballots from the IAR. As any statistician knows, mean squared error (acronym MSE, just like this system) is mathematically equal to the square of bias (that is, how far the average representation is below the IAR; the higher the average representation, the happier all voters are, the better) plus the variance (the square of the standard deviation of the representations; the lower it is, the more equally-represented all voters are, the better).</div><div><br></div><div>Note that the "bias" is governed by the average representation. This is a monotonic function of the number of approvals for each winning candidate, independent of which voters those approvals come from. The "variance" is where it matters who approves who, so as to keep all voters approximately equal. Once you zero out the excess contributions to variance from "supersatisfied" voters, it's easy to see that this system is monotonic.</div><div><br></div><div>It's also easy to verify that it gives (D'Hondt-like) proportional results in cases of pure partisan voters, and that it tends towards (though does not actually perfectly achieve) independence of universally approved candidates.</div><div><br></div><div>In order to find the global minimum of squared envy, it is possible to take advantage of the fact that, if you allow any real-valued fraction or negative amount of each candidate, but still keep the sum of the total number of candidates constant at S, the quality becomes a nice simple quadratic surface in each dimension. The global minimum is easy to calculate, and there are polynomial-time algorithms to find which of the nearby points with only 0 or 1 copy of each candidate is optimum. So this is not an NP-complete system, unlike many globally-maximizing systems. (This may break if there are a lot of supersatisfied voters of various types; in that case, I guess, you could still find the IMR-based MSE, and try perturbing from there, and also find lower bounds on the MSE so that you could probably tell when you'd achieved the minimum.)  </div><div><br></div><div>Jameson</div><div><div><br></div><div>ps. Thanks to Toby, Warren, and the others in the various threads that have led up to this proposal. There is no way I would have been thinking along these lines without the rich discussion of Phragmen, Ebert, etc.</div></div><div><br></div><div>pps. I realized that you can't add new pages on electowiki anymore. I've written Rob Lanphier to see if he will fix that.</div><div><br></div><div><br></div></div>