<div dir="ltr"><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div>Continuing as promised...<br><br></div>Now let's allow range ballots with greater resolution than mere approval ballots.<br><br></div>For each w-tuple of candidates we ...<br><br></div>(1) first divide the ballots into two sets, the set S of ballots that have positive support for at least one candidate of our w-tuple, and the complementary set S' of ballots that rate every member of our w-tuple at zero.<br><br></div>(2) Then we imagine an experiment of drawing a ballot B at random from the entire set of ballots.  Let p0 be the probability that B is a member of S', and let p1, p2, ... pw be the respective probabilities for the choices of the respective members of our w_tuple given that B is a member of S. [Multiplication by (1-p0) would give the respective unconditioned probabilities.]<br><br></div>(3)  Let a1, a2, ... be the respective candidate score averages for ballots in S.<br><br></div>(4)  elect the w-tuple with the greatest value of the expression<br><br></div>min(a1*p1, a2*p2, ...) - p0.<br><br></div>There are at least three good ways of defining the details of the random ballot experiment.<br><br></div>(1)  The value p3, say, is the probability that candidate 3 would be the highest rated candidate (from our w-tuple) on a randomly drawn ballot from the set S.  If several candidates are tied in this respect, divide up the probability (from Ballot B) equally among them..<br><br></div>(2)  The positive scores on every ballot B are normalized with respect to the members of our w-tuple.  These normalized scores are averaged over S to get the respective "random ballot" probabilities.<br><br></div>(3)  Use a Toby Pereira transformation to convert each range style ballot into one hundred approval ballots.  Then use a random approval ballot lottery on that set. I'll explain this in my next post ...<br></div><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Thu, Dec 3, 2015 at 1:44 PM, Forest Simmons <span dir="ltr"><<a href="mailto:fsimmons@pcc.edu" target="_blank">fsimmons@pcc.edu</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div><div><div><div>Continuing as promised ..<br><br></div>Suppose that there are to be w winners, and the ballots are still approval style:<br><br></div>For each w_tuple of candidates, let p1, p2, ... be the respective probabilities of selection of the respective candidate by random ballot (restricted to the w-tuple), and let p0 be the probability that a random ballot would not approve any of the candidates in the w-tuple.<br><br></div>Elect the w-tuple with the largest value of  min(p1, p2, ...) - p0.<br><br></div>To Be Continued ...<div><div class="h5"><br><div><div><div><div><div><div><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Thu, Dec 3, 2015 at 1:30 PM, Forest Simmons <span dir="ltr"><<a href="mailto:fsimmons@pcc.edu" target="_blank">fsimmons@pcc.edu</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><br><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">This query has lead me to some interesting ideas:<br><br></div><div class="gmail_quote">Approval Ballots.  Two to elect:<br><br></div><div class="gmail_quote">For each pair of candidates {X1, X2}, let p1 and p2 be the respective probabilities that X1 or X2 would be selected by a random approval ballot drawing (restricted to our pair of candidates), and let p0 be the probability that a random ballot would approve neither X1 nor X2.  Elect the pair with the greatest value of min(p1, p2) - p0.<br><br></div><div class="gmail_quote">This actually gives two methods, since there are two natural ways of selecting a candidate by random approval ballots.  <br><br>The first way is to select ballots at random until the approval set for one of them has non-empty intersection with the set from which we are to select a winner.  The names of the candidates are drawn randomly from a hat.  The first name drawn of a candidate in the intersection set is the name of the winner.<br><br></div><div class="gmail_quote">The second way starts out as above, but once the first non-empty intersection set is determined, additional ballots are drawn as needed to narrow down the intersection to one candidate, the winner.<br><br></div><div class="gmail_quote">More later ...<br></div><div class="gmail_quote"><br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
From: Forest Simmons <<a href="mailto:fsimmons@pcc.edu" target="_blank">fsimmons@pcc.edu</a>><br>
To: EM <<a href="mailto:election-methods@lists.electorama.com" target="_blank">election-methods@lists.electorama.com</a>>,         Andy Jennings<br>
        <<a href="mailto:elections@jenningsstory.com" target="_blank">elections@jenningsstory.com</a>><br>
<br>
<br>
How about thie following ideas?<br>
<br>
Elect the pair that covers the most voters (i.e. that leaves the fewest<br>
voters with nobody that they approved elected).  In case of ties, among<br>
tied pairs elect the one whose weaker member has the most approval.<br>
<br>
Or this variant:  If no pair covers more than 70 percent of the voters,<br>
elect the pair that covers the greatest number of voters.  Otherwise<br>
consider all pairs that cover at least 70 percent of the voters to be<br>
tied.  Then among tied pairs, elect the one whose weaker member has the<br>
greatest approval.<br>
<br>
<br>
From: Andy Jennings <<a href="mailto:elections@jenningsstory.com" target="_blank">elections@jenningsstory.com</a>><br>
> To: Election Methods <<a href="mailto:election-methods@electorama.com" target="_blank">election-methods@electorama.com</a>><br>
> Subject: [EM] Approval ballots. Two to elect. Best method?<br>
><br>
> SPAV?<br>
> 1. Candidate with most approvals wins.<br>
> 2. That candidate's voters have their voting weight halved (or multiplied<br>
> by 1/3).<br>
> 3. Remaining candidate with most points wins.<br>
><br>
> STV-like?<br>
> 1. Choose quota Q = one-third (or one half) of voters.<br>
> 2. Candidate with most approvals wins.  (T = # of approvals)<br>
> 3. That candidate's voters have their voting weight multiplied by<br>
> max(1-(Q/T), 0)<br>
> 4. Remaining candidate with most points wins.<br>
><br>
> Monroe-like?<br>
> 1. For each pair of candidates, find the voter-assignment which maximizes<br>
> the number of voters assigned to a candidate they approved, such that no<br>
> more than half the voters are assigned to one candidate.<br>
> 2. Elect the pair which satisfies the most voters.<br>
><br>
> Others?  Toby, what are your favorite PR methods at the moment?  Can you<br>
> give a short explanation of how Phragmen/Ebert would work with only two to<br>
> elect?<br>
><br>
><br>
><br>
> Specifically, I'm worried that in practically every approval-ballot PR<br>
> method, if there is a candidate you really like, but are sure that she can<br>
> get elected without your vote, you gain an advantage by not approving<br>
> them.  Is there any method that minimizes that incentive?<br>
><br>
> ~ Andy<br>
><br></blockquote></div></div></div></blockquote></div><br></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div>
</blockquote></div><br></div>