<div dir="ltr"><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div>Here's how majority enhanced approval works:  It elects the approval winner unless she is covered by some other candidate.  In that case from among those that cover her it elects the one with the most approval.  Unless she also is covered, in which case from among those that cover her, it elects the one with the most approval, etc.<br>
<br></div>Another fancier way to articulate this goes like this: First initialize a list with the name of the approval winner.  Then while at least one candidate covers every candidate named on the list, from among such candidates add to the list the one with the greatest approval.  Elect the candidate whose name was added last.<br>
<br></div>Obviously, the MEA winner is uncovered.  This means that to every other candidate she has a short beat path, i.e. if she doesn't beat him, she beats someone who does.  Since she has a beatpath to every other candidate she is a member of Smith.<br>
<br></div>We can majority enhance other kinds of methods that generate a social order.  For example, we could list the candidates in order of max pairwise opposition, initialize the list with the name of the candidate with the best score, etc. While some candidate covers all candidates listed, from among those covering candidates add to the list the one with the best score, etc.<br>
<br></div>Currently the score that I like best because of simplicity and other properties is what I call et-eb, Equal Top minus Equal Bottom.<br><br></div>A candidate's et-eb score is the difference in the number of ballots on which she is ranked below no other candidate and the number of ballots on which she is ranked above no other candidate.<br>
<br></div>ME(et-eb) is chicken proof, monotone, clone proof, and elects an uncovered candidate from Smith.  It satisfies Independence from Pareto Dominated Alternatives and the Plurality criterion.  It does all of these things seamlessly from the et-eb order and the pairwise defeat graph, which are easily assembled from a summable matrix..<br>
<br></div>Here's how it works on Kevin's famous chicken example:<br><br></div>49 C<br></div>27 A>B<br></div>24 B<br><br></div>The et-eb scores are C(49-51)>B(24-49)>A(27-73)<br><br></div>Candidate C is elected because she has the best score and is uncovered (because she has a short beatpath to each of the other candidates).<br>
<br></div>Notice that when there are only three candidates in Smith, this method always gives the same result as Smith//(et-eb), but is more seamless. .  Furthermore (in the case of three candidates) the et-eb scores yield the same order as the Borda scores, so in the case of three candidates this method is equivalent to Black (provided Black allows equal ranking and truncation)..<br>
<br></div>With any number of candidates you can think of there being three levels: equal bottom, equal top, and in between.  The in between ranks do not affect the score, but they do contribute to the pairwise matrix, and thereby help determine the covering relation.<br>
<br></div>Note that (by definition) candidate X covers candidate Y iff for each candidate Z, whenever Y defeats Z, then so does X.  <br><br>So if Y is not covered by X, there is some Z that if beaten by Y but not by X, which gives a short beatpath from Y to X, namely Y>Z>X .<br>
<br></div>This short beatpath idea allows for an alternative definition of covering:<br><br></div>Candidate X covers candidate Y iff there is no short beatpath from Y to X.<br><div><div><div><div><div><div><div><div><div>
<div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div class="gmail_extra"><br><br></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div>
</div></div></div></div></div></div></div></div></div>