<div>Warren Smith and I have discussed methods with less bias than Sainte-Lague/Webster. We discussed in for apportionment of congressional seats to states, so I'll discuss in in those terms.</div><div> </div><div>Warren suggested "Random-Rounding", in which, when a state's number of Hare quotas is rounded up with a probability equal to the fractional part of its number of Hare quotas.</div>
<div> </div><div>Do that for each seat. If the total number of seats doesn't equal the desired number, then do the randomizations again...until the desired number of seats is allocated.</div><div> </div><div>Of course randomness is sometimes not popular, but it's a method to consider.</div>
<div> </div><div>Someone suggested to Warren (and I've heard or read this suggestion elsewhere too) that what should be kept as proportional as possible, is the _time average_ of the states' s/p.</div><div> </div>
<div>Those are good simple solutions.</div><div> </div><div>A more conventional solution would be deterministic, and would consider each decade's apportionment separately.</div><div> </div><div>Warren and I have both suggested various less biased methods for that. Some of mine were unworkable, because of (at that time) unexamined assumptions that I'd made about the relation between the number of seats and the number of states.</div>
<div> </div><div>But one proposal of mine, which I called "Weighted Webster" is workable. Warren and I both proposed implementations of it and variations of it.</div><div> </div><div>Say we number the states, from smallest to largest.</div>
<div> </div><div>Each state, then, has a "state-number". I let "S" stand for state number, and "x" stand for population.</div><div> </div><div>Though all of the states' state numbers are integers, find an interpolating function to find the state number at population _between_ states, in some region of interest. Interpolate</div>
<div>S(x) based on the S and the x for several states.</div><div> </div><div>Warren suggested an exponential function, and that sounds fine.</div><div> </div><div>Express population in terms of the quotient of dividing the state's population by a common divisor, as the divisor methods do.</div>
<div> </div><div>Consider the interval between x = a and x = b, where a and be are consecutive integers. I'll call that interval "that interval".</div><div> </div><div>What is the probability of some state in that range rounding up?</div>
<div> </div><div>Say R is the roundoff point in that interval.</div><div> </div><div>(S(b)-S(R))/(S(b)-S(a)) is the probability of rounding up. I'll abbreviate that as "p".</div><div> </div><div>What is the expected number of seats? It's :</div>
<div> </div><div>a + p.</div><div> </div><div>What is the expected population? It's:</div><div> </div><div>a + 1/2</div><div> </div><div>Set a + p equal to a + 1/2.  (Of course write p out as defined above).</div><div>
 </div><div>Solve for R.</div><div> </div><div>That's the roundoff point that will make the expected s/v in that interval equal to 1.</div><div> </div><div>Solving for R, you first must solve for S(R). Then, knowing what S(R) is, solve for R.</div>
<div> </div><div>the x value for R will be a logarithmic function of S(R), if we've used an exponential interpolating function.</div><div> </div><div>There would be some rule for which states' S and x values to use for the interpolation, for use in a particular a to b interval.</div>
<div> </div><div>I've written that out hurriedly, because I have things to do, and can't stay on the computer long. But I hope that well describes Weighted Webster as I define it.</div><div> </div><div>Of course, because this is hurried, I could have overlooked something, and be posting nonsense. I'll take my chances. It's probably valid. </div>
<div> </div><div>Now, to get about my household tasks.</div><div> </div><div>Mike Ossipoff</div><div> </div><div> </div><div>Mike Ossipoff</div><div> </div><div> </div><div> </div><div> </div><div> </div><div> </div><div>
 </div><div> </div><div> </div><div> </div><div> </div><div> </div><div> </div><div> </div><div> </div><div> </div>