<div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex;">Here’s a method that seems to have the important properties that we have been worrying about lately:<br>


<br>
(1)     For each ballot beta, construct two matrices M1 and M2:<br>
In row X and column Y of matrix M1, enter a one if ballot beta rates X above Y or if beta  gives a top<br>
rating to X.  Otherwise enter a zero.<br>
IN row X and column y of matrix M2, enter a 1 if y is rated strictly above x on beta.  Otherwise enter a<br>
zero.<br>
<br>
(2)     Sum the matrices M1 and M2 over all ballots beta.<br>
<br>
(3)     Let M be the difference of these respective sums<br>
.<br>
(4)     Elect the candidate who has the (algebraically) greatest minimum row value in matrix M.<br>
<br>
Consider the scenario<br>
49 C<br>
27 A>B<br>
24 B>A<br>
Since there are no equal top ratings, the method elects the same candidate A as minmax margins<br>
would.<br>
<br>
In the case<br>
49 C<br>
27 A>B<br>
24 B<br>
There are no equal top ratings, so the method gives the same result as minmax margins, namely C wins<br>
(by the tie breaking rule based on second lowest row value between B and C).<br>
<br>
Now for<br>
49 C<br>
27 A=B<br>
24 B<br>
In this case B wins, so the A supporters have a way of stopping C from being elected  when they know<br>
that the B voters really are indifferent between A and C.<br>
<br>
The equal top rule for matrix M1 essentially transforms minmax into a method satisfying the FBC.<br>
<br>
Thoughts?<br></blockquote><div><br></div><div><br></div><div>To me, it doesn't seem like this fully solves our Approval Bad Example.  There still seems to be a chicken dilemma.  Couldn't you also say that the B voters should equal-top-rank A to stop C from being elected:</div>

<div>49 C</div><div>27 A</div><div>24 B=A</div><div>Then A wins, right?</div><div><br></div><div>But now the A and B groups have a chicken dilemma.  They should equal-top-rank each other to prevent C from winning, but if one group defects and doesn't equal-top-rank the other, then they get the outright win.</div>

<div><br></div><div>Am I wrong?</div><div><br></div><div>~ Andy</div><div><br></div><div><br></div></div>