That proof assumes a euclidean distance metric. With a non-Euclidean one, the "planes" could have kinks in them. I believe I have heard that the result still holds with, for instance, a city-block metric, but I cannot intuitively demonstrate it to myself by imagining volumes and planes as in this proof.<div>

<br></div><div>JQ<br><br><div class="gmail_quote">2011/7/13  <span dir="ltr"><<a href="mailto:fsimmons@pcc.edu">fsimmons@pcc.edu</a>></span><br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex;">

Actually, any centrally symmetric distribution will do, no matter how many dimensions.<br>
<br>
The property that we need about central symmetry is this: any plane (or hyper-plane in higher<br>
dimensions) that contains the center of symmetry C will have equal numbers of voters on each side of<br>
the plane..<br>
<br>
To see how this guarantees a Condorcet winner, let A and B be candidates such that A is nearer to the<br>
center C than B is.  Let pi be the plane (or hyper-plane in dimensions greater than three) through C that<br>
is perpendicular to the line segment AB.<br>
<br>
By the symmetry assumption there are just as many voters on one side of the plane pi as on the other<br>
side.<br>
<br>
Now move pi parallel to itself until it bisects the line segment AB.<br>
<br>
All of the voters that passed through the plane pi during this move went from the B side to the A side of<br>
the plane.  So A beats B pairwise.<br>
<br>
Therefore, if there is a unique candidate that is closer to C than any of the rest , that candidate will beat<br>
each of the others pairwise. Otherwise, all of the candidates sharing the minimum distance to C will be<br>
perfectly tied for CW.<br>
<br>
<br>
<br>
> From: Bob Richard<br>
> After looking up some old email threads, it now seems to me that<br>
> I made<br>
> a significant mistake in the post below. It is true that the<br>
> model<br>
> underlying Yee diagrams guarantees that there will always be a<br>
> Condorcet<br>
> winner. But apparently that has nothing to do with the two<br>
> dimensions<br>
> being orthogonal. It results from the fact that voters are<br>
> normally<br>
> distributed on both dimensions.<br>
><br>
> --Bob Richard<br>
----<br>
Election-Methods mailing list - see <a href="http://electorama.com/em" target="_blank">http://electorama.com/em</a> for list info<br>
</blockquote></div><br></div>