<div>Jameson,</div><div><br></div>On Fri, Jun 10, 2011 at 6:53 AM, Jameson Quinn <span dir="ltr"><<a href="mailto:jameson.quinn@gmail.com">jameson.quinn@gmail.com</a>></span> wrote:<br><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex;">

<div>I'm not aware of many approval-based PR systems, though. Perhaps it's my own ignorance, but the only ones I know of are RAV and the two-ranked case of a complicated, unpublished Bucklin-based system I've come up with, based on the concept of assigning individual votes and electing candidates one at a time. Since I don't really even understand my own system (I've decided it's too complex to be worth publishing until I've at least explored its properties computationally) that leaves just RAV (reweighted approval voting, the approval simplification of RRV).</div>

</blockquote><div><br></div><div>You may want to Google "Brams Kilgour Approval Committee".  In early 2009, I saw Marc Kilgour give a talk that surveyed MANY different methods of resolving a multiwinner election from approval ballots.  He considered many different permutations and parameters.    I think this is a similar "survey" paper: <a href="http://www.springerlink.com/content/r173p72n6l1q6880/">http://www.springerlink.com/content/r173p72n6l1q6880/</a></div>

<div><br></div><div>But it's not free...  :(</div><div><br></div><div><meta charset="utf-8"><div>It seems the method that Kilgour and Brams like best is called Satisfaction Approval Voting.  There is some material about this in Brams' book "Mathematics and Democracy".</div>

</div><div><br></div><div> </div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex;">

<div>Remember, the RAV procedure is: </div><div>0. While there are still open seats, repeat the following two steps:</div><div>1. Elect the highest-approval candidate</div><div>2. Reweight all ballots to 1/(n+1), where n is the number of elected candidates they approve</div>



<div><br></div><div>I would propose a variant of this, Minimum Remainder RAV. The slate elected is the one which leaves the lowest average final weight over all ballots. This is an optimizing, not a procedural system, and so I do not know how hard it is in practice to calculate the result; as far as I know right now, it could be NP-complete. In that case, to make it decidable, the rule could be to allow anybody to submit a slate for some period after the election, and the winning slate is the optimum out of those submitted. With modern computers, it would be possible to submit all possible slates for up to a few dozen serious candidates; past that, it may be impossible to find a provably-optimum solution, but you could be certain to come close.</div>



<div><br></div><div>Here's a simple example of when it comes out different from RAV:</div><div>11: AB</div><div>10: AC</div><div>6:D</div><div><br></div><div>RAV elects A,D. MRRAV elects B,C</div></blockquote><div><br>

</div><div><br></div><div>Can you explain what it means that "the slate elected is the one which leaves the lowest average final weight"?</div><div><br></div><div>I thought it meant to minimize SUM(1/(N_i + 1)) over all voters, i, where N_i is the number of winning candidates approved by voter i.</div>

<div><br></div><div>But in your example, electing B and C would leave 21 voters with one approved candidate and 6 voters with zero approved candidates, which gives an average final weight of 0.6111.  Electing A and D would give all 27 voters exactly one approved candidate, for an average final weight of 0.5.  So wouldn't A and D be the winner in MRRAV?</div>

<div><br></div><div>Andy</div></div>