<table cellspacing="0" cellpadding="0" border="0" ><tr><td valign="top" style="font: inherit;">Dear EM fans!<br>      I was wondering if anyone can think of a source <br>for the following simple observation, as it might make <br>a nice little paper.  It amounts to seeing how the Borda <br>count can be made Condorcet-compliant by <br>replacing the mean by the median as detailed below.<br><br>All ballots are total rankings of n candidates, and <br>X, Y are two distinct candidates.  For any ballot,<br>write s(X,Y) for (rank of Y) - (rank of X) which of <br>course is the difference of their Borda scores.<br><br>The s(X,Y) are all non-zero integers, at most<br>n-1 in absolute value.<br><br>We will suppose that there are no pairwise (i.e.<br>Condorcet) ties.<br><br>Given an election profile, write b(X,Y) for the mean<br>of all the s(X,Y), and write c(X,Y) for the<br>median of the same data set.<br><br>Now b(X,Y)>0 iff X beats Y
 in the Borda count,<br>and b(X,Y)>0 for all Y iff X is the Borda winner.<br><br>Also c(X,Y)>0 iff X beats Y pairwise, and<br>c(X,Y)>0 for all Y iff X is the Condorcet winner.<br><br>What makes all this true is the fact that the mean of <br>the differences (of the Borda scores for X and Y) equals<br>the difference of their means; c(X,Y) is the median of the<br>differences, which is not the same as the difference<br>of the medians.<br><br>If there is no Condorcet winner, then you<br>could resort to one of the established methods<br>to break the tie (RP, Schulze, minimax, ...)<br><br>If there can be pairwise ties then c(X,Y)>0<br>only implies that Y does not beat X pairwise.  There is a<br>range 1<=c(X,Y)<=(n/2) - 1 in which either X beats<br>Y or they tie - both are possible.  <br><br>As calculating the median is relatively expensive, the <br>above probably is not useful as an algorithm.<br><br>Any
 thoughts?</td></tr></table><br>