OK, so what's DMC? Feel free to link to an electowiki description or old post, you don't have to rewrite the description.<div><br></div><div>Or... well, I guess I can figure it out - it's approval bubble-sorted by pairwise. And it's apparently monotone and clone-free, but not uncovered. So if the approval order is A>B but B is the pairwise champion (CW), then a "caricature of B", B', who beats B but loses to A, can stop B from winning DMC, but will not stop them in DMC/Covering Chain. Am I right?</div>

<div><br></div><div>Still, I think that DMC is "good enough" in practical terms; I don't think that the (debatable) benefits of the other methods are worth the extra complication. "The most-approved candidate who could beat all more-approved candidates" is actually pretty easy to understand.</div>

<div><br></div><div>JQ<br><br><div class="gmail_quote">2010/12/2  <span dir="ltr"><<a href="mailto:fsimmons@pcc.edu">fsimmons@pcc.edu</a>></span><br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex;">

My Bad.<br>
<br>
I meant DMC (democratic majority choice) not MCA.  That's what I get for making<br>
up names for the sole purpose of making a method sound attractive!<br>
<div class="im"><br>
----- Original Message -----<br>
From: Jameson Quinn<br>
Date: Thursday, December 2, 2010 6:00 pm<br>
Subject: Re: [EM] A Comparison of the Two Known Monotone, Clone Free Methods for<br>
Electing Uncovered Alternatives<br>
To: <a href="mailto:fsimmons@pcc.edu">fsimmons@pcc.edu</a><br>
Cc: <a href="mailto:election-methods@lists.electorama.com">election-methods@lists.electorama.com</a><br>
<br>
> I understand all of this except your definition for MCA. As I<br>
> understand it,<br>
> MCA has more rating categories than approval, yet is not ranked,<br>
> so the MCA<br>
> order cannot be inferred from either approval or pairwise wins<br>
> or both. It<br>
> seems you have a different definition.<br>
><br>
> JQ<br>
><br>
> 2010/12/2<br>
><br>
</div><div><div></div><div class="h5">> > To my knowledge, so far only two monotone, clone free,<br>
> uncovered methods<br>
> > have<br>
> > been discovered. Both of them are ways of processing given<br>
> monotone, clone<br>
> > free<br>
> > lists, such as a complete ordinal ballot or a list of<br>
> alternatives in order<br>
> > of<br>
> > approval.<br>
> ><br>
> > The first method, "chain climbing," starts at the bottom of<br>
> the list and<br>
> > works<br>
> > upward. It initializes a "chain" with the lowest alternative<br>
> of the list<br>
> > and<br>
> > while there is any alternative that pairwise beats all the<br>
> current members<br>
> > of<br>
> > the chain, the lowest such member of the list is added to the<br>
> chain. The<br>
> > last<br>
> > alternative added to the chain is the chain climbing winner.<br>
> ><br>
> > The second method, the "covering chain" method, starts at the<br>
> top of the<br>
> > list<br>
> > and works downward. A variable X is initialized as the<br>
> alternative highest<br>
> > on<br>
> > the list. While some alternative covers X, the highest such<br>
> alternative on<br>
> > the<br>
> > list becomes the new value of X. The final value of X is the<br>
> covering chain<br>
> > winner.<br>
> ><br>
> > Both methods pick from the uncovered set, so they are both Condorcet<br>
> > efficient.<br>
> ><br>
> > Suppose, for example, that the alternatives A, B, C, D, and E<br>
> are arranged<br>
> > along<br>
> > a line in alphabetical order with C at the voter median<br>
> position. The<br>
> > sincere,<br>
> > rational ordinal ballot of a voter near alternative A would<br>
> likely list the<br>
> > alternatives in alphabetical order. If this ballot were taken<br>
> as the list<br>
> > L,<br>
> > and the two methods were applied to L, the first method (chain<br>
> climbing)> would<br>
> > build up the chain in the order E,D, C, so C would be the<br>
> chain climbing<br>
> > winner. If the second method were used, the successive values<br>
> of X would<br>
> > be A,<br>
> > B, and C, so C would also be the covering chain winner.<br>
> ><br>
> > The two methods approach the voter median alternative from<br>
> opposite sides.<br>
> ><br>
> > If C were replaced with the cycle C1 beats C2 beats C3 beats<br>
> C1, and the<br>
> > list<br>
> > order became<br>
> ><br>
> > A, B, C1, C2, C3, D, E,<br>
> ><br>
> > then the chain climbing chain would build up in the order E,<br>
> D, C3, C2,<br>
> > with C2<br>
> > winning, while the successive covering chain values of X would<br>
> be A, B, C1,<br>
> > respectively, with C1 becoming the covering chain winner.<br>
> ><br>
> > This illustrates the general principle that when the Smith set<br>
> is a cycle<br>
> > of<br>
> > three alternatives, chain climbing is more penetrating than<br>
> the covering<br>
> > chain<br>
> > method. In this context the covering chain method will always<br>
> stop at the<br>
> > first<br>
> > member of the top cycle that it encounters, thus pleasing<br>
> those voters who<br>
> > favor<br>
> > the list order, while the chain climbing method always<br>
> penetrates beyond<br>
> > the<br>
> > first member of the top cycle that it encounters, but it may<br>
> or may not<br>
> > make it<br>
> > to the highest member of the top cycle on the list.<br>
> ><br>
> > In the above example, the A supporter who supplied the list<br>
> would prefer<br>
> > the<br>
> > covering chain winner, but C2 might be better for the<br>
> electorate as a<br>
> > whole.<br>
> ><br>
> > Chain climbing has more penetrating power in another sense,<br>
> too. It never<br>
> > stops<br>
> > short of the Banks set, a special subset of the uncovered set.<br>
> When the<br>
> > top<br>
> > cycle has only three members, the Banks set contains all of<br>
> the uncovered<br>
> > set,<br>
> > so this Banks set penetration is something beyond that shown<br>
> in the above<br>
> > example.<br>
> ><br>
> > The covering chain method is not guaranteed to pick from<br>
> Banks, but it has<br>
> > a<br>
> > nice property that chain climbing lacks, namely it satisfies<br>
> independence> from<br>
> > pareto dominated alternatives (IPDA).<br>
> ><br>
> > So we cannot say that one of these methods is uniformly better<br>
> than the<br>
> > other.<br>
> ><br>
> > Here's another instructive example. Suppose that the list of<br>
> alternatives> is<br>
> ><br>
> > L = [A, D, B, C] in that order, and that the pairwise "beats"<br>
> relation is<br>
> ><br>
> > C beats B beats D beats A coupled with D beats C beats A beats B.<br>
> ><br>
> > Then, all of the alternatives are in the Smith set, but A is<br>
> covered only<br>
> > by C,<br>
> > so C is the covering chain winner. On the other hand the<br>
> chain climbing<br>
> > sequence is C followed by D, so D is the chain climbing<br>
> winner. This is<br>
> > the<br>
> > first example we have seen where the chain climbing winner<br>
> comes out higher<br>
> > on<br>
> > the list than the covering chain winner. That can never<br>
> happen when the<br>
> > top<br>
> > cycle (Smith set) has fewer than four members.<br>
> ><br>
> > Now suppose that we bubble sort the list L to get the list<br>
> ><br>
> > L' = [D, C, A, B]<br>
> ><br>
> > If the original list L were the approval order, then this list<br>
> would be the<br>
> > Majority Choice Approval order after the bubble sort, and we<br>
> would discover<br>
> > alternative D to be the MCA winner.<br>
> ><br>
> > The list L' is fair game for our two methods, since bubble sorting<br>
> > preserves<br>
> > monotonicity and clone independence, so let's see how they<br>
> compare with MCA<br>
> > in<br>
> > this example:<br>
> ><br>
> > Chain climbing builds up its chain in the order B, A, C, and<br>
> stops with C,<br>
> > since<br>
> > D does not beat B. So C is the chain climbing winner for the<br>
> list L'. On<br>
> > the<br>
> > other hand, C at the top of list L' is uncovered, so C is the<br>
> covering> chain<br>
> > winner for list L'. So in this example, our two methods<br>
> switch winners as<br>
> > we go<br>
> > from the unsorted list L to the bubble sorted list L'.<br>
> ><br>
> > So (under the assumption that L is the approval order) the MCA<br>
> winner D is<br>
> > the<br>
> > chain climbing winner for the unsorted list L, as well as the<br>
> covering> chain<br>
> > winner for the sorted list L', while the MCA runner-up C is<br>
> the covering<br>
> > chain<br>
> > winner for the unsorted list L and the chain climbing winner<br>
> for the sorted<br>
> > list<br>
> > L' .<br>
> ><br>
> > Since MCA is not guaranteed to pick from the uncovered set, I<br>
> am not<br>
> > suggesting<br>
> > that we consider it in the same class as our two uncovered<br>
> methods. But<br>
> > the<br>
> > above comparison at least makes a connection with something<br>
> more familiar<br>
> > to<br>
> > most of us.<br>
> ><br>
> > I do suggest the following:<br>
> ><br>
> > In any context where being as faithful as possible to the<br>
> original list<br>
> > order is<br>
> > considered important, perhaps because the only reason for not<br>
> automatically> electing the top of the list is a desire to<br>
> satisfy Condorcet efficiency,<br>
> > then<br>
> > in this case I suggest computing both the chain climbing<br>
> winner and the<br>
> > covering<br>
> > chain winner for the list L, and then going with which ever of<br>
> the two<br>
> > comes out<br>
> > higher on L.<br>
> ><br>
> > On the other hand, when the list L is just considered a<br>
> convenient starting<br>
> > place, with no other special importance, then I suggest bubble<br>
> sorting L to<br>
> > get<br>
> > L', and then flip a coin to decide which of the two methods to<br>
> use for<br>
> > processing this sorted list.<br>
> ><br>
> > This coin flip (after the ballots have been voted) will<br>
> largely foil<br>
> > attempts at<br>
> > manipulation. But it can also be thought of in the following<br>
> way: the two<br>
> > different methods tend to approach the "center" of the voter<br>
> distribution> from<br>
> > opposite sides, so they can be thought of as bracketing the<br>
> "center." The<br>
> > coin<br>
> > flip is an averaging mechanism that takes us closer (on<br>
> average) to the<br>
> > "center."<br>
> ><br>
> > If the coin flip is unpalatable, then apply only chain<br>
> climbing to L',<br>
> > since<br>
> > chain climbing is more apt to penetrate to the Banks set in general.<br>
> ><br>
> > Thought and comments?<br>
> ><br>
> > Thanks,<br>
> ><br>
> > Forest<br>
> > ----<br>
> > Election-Methods mailing list - see <a href="http://electorama.com/em" target="_blank">http://electorama.com/em</a><br>
> for list info<br>
> ><br>
><br>
</div></div></blockquote></div><br></div>