<div class="gmail_quote">Yes, my "proof" was flawed. The CW Cathy must beat the Approval winner Andy's approval (1,1,0) score with her range(2,1,0) score; but she need not beat his range score with her range score. This fact is much less useful, because there could be a number of candidates whose range scores surpass Andy's approval score; so you may not actually eliminate anyone for the runoff, unless you add additional filtering criteria. Such extra critera could not, as far as I can see, be both O(N) summable, Condorcet-compliant, and guaranteed to cut down to two candidates.</div>

<div class="gmail_quote"><br></div><div class="gmail_quote">(There is, however, one more summable, Condorcet compliant criterion based on 3-rank Range: any candidate whose 1,0,0 "preferral"/"range minus approval" score beats another candidate's 1,1,0 "approval" score, must beat them pairwise. This could be used in addition to the "absolute majority" requirement to give some extra first-round wins in cases of a clear winner despite a fragmented electorate).</div>

<div class="gmail_quote"><br></div><div class="gmail_quote">Warren Smith came up with a simpler counterexample, which I simplified further:</div><div class="gmail_quote"><span class="Apple-style-span" style="font-family: arial, sans-serif; font-size: 13px; border-collapse: collapse; "><br class="Apple-interchange-newline">

#voters vote<br>7 CAB<br>5 ACB<br>4 ABC<br>3 BCA</span></div><div class="gmail_quote"><br></div><div class="gmail_quote">C is the CW, A is the AW and the RW. Apparently, Condorcet himself was aware of this possibility (though of course he was considering Borda, not Range).</div>

<div class="gmail_quote"><br></div><div class="gmail_quote">JQ</div><div class="gmail_quote"><br></div><div class="gmail_quote">2010/9/5 C.Benham <span dir="ltr"><<a href="mailto:cbenhamau@yahoo.com.au">cbenhamau@yahoo.com.au</a>></span><br>

<blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex;"><br>
Jameson Quinn wrote (5 Sep 2010):<br>
<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
Here's my latest Bucklin variant, which, pending the results of the<br>
naming poll <<a href="http://betterpolls.com/do/1189" target="_blank">http://betterpolls.com/do/1189</a>>, I'm calling RMCA (because of<br>
the catchy music). (Of course, if it's OK to appropriate the name MCA, the<br>
editorial headline writes itself...)<br>
<br>
Start with two-rank Bucklin ballots: Preferred, Approved, or Unapproved. The<br>
highest majority preferred, if any, wins it. If not, find the highest number<br>
of approved-or-preferred ("approval winner", AW), and the highest range<br>
score ("range winner", RW), counting 2/1/0 for P/A/U. If those are the same<br>
candidate, that candidate wins; otherwise, those two go into a runoff. (If<br>
either of these measures gives an exact tie, then the two tied candidates go<br>
to runoff.)<br>
<br>
The first (to me, surprising) result is that any Condorcet winner which is<br>
determinable from the ballots must get into the runoff. Proof: Say that the<br>
AW is not the CW. Then the number of ballots n with CW>AW is greater than m<br>
with AW>CW. On a ballot where X beats Y, X has a range advantage of either 1<br>
(X>Y) or 2 (X>>Y). Sf n2 where CW>>AW is greater than (m2 where<br>
AW>>CW)+(n-m), then the CW is the RW. And if n2 < m2, then there are more<br>
ballots which approve the CW and not the AW than the reverse, which<br>
contradicts the assumption that the AW is the AW. QED.<br>
<br>
 <br>
</blockquote>
Adapting an example from Douglas Woodall:<br>
<br>
4: A>B<br>
6: A>C<br>
6: B>A<br>
2: B>C<br>
3: C>B<br>
<br>
The Condorcet winner is B, but Jameson's suggested "condorcet compliant" method elects A.<br><font color="#888888">
<br>
Chris Benham<br>
</font></blockquote></div><br>