<div>Dear Kristofer,<br></div><div><br></div><div>would the constant relative risk function be of any help for Approval voting?</div><div><br></div><div><div><div>F=( s(1)^(r-1)+...+s(n)^(r-1) ) / (r-1).</div><div><br></div>
<div><div>s(i) is the number of approved council members that are elected, where 1<=i<=n, n is the number of voters</div><div>r is a coefficient of risk aversion, which determines the rate at which marginal utility of the voter declines with the number of council members awarded to the voter.</div>
<div><br></div><div>The constant relative risk aversion function (CRRA) is a special case of Arrow-Pratts relative risk aversion function <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_relative_risk_aversion#Relative_risk_aversion">http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_relative_risk_aversion#Relative_risk_aversion</a>. Other names of this function is: isoelastic utility function, CES.</div>
</div></div></div><div><br></div><div>Why this function:</div><div><div>Each of the elected council member represents one unit of a consumption good.</div><div>If a voter approves of a candidate and this candidate is elected, then the voter gets one unit, if the voter approves of two elected council members, then he/she gets two units and so on. The marginal utility of the next unit is defined by the function F above given a value on r.</div>
<div>Thus we want to distribute S units of this good, where S is the number of council members in such a way that happiness or utility (i.e. F) is maximized among the voters, given a value on r.</div><div><br></div><div>The selection of r determines the behavior of F: </div>
<div>If r=1, then F becomes the Bernoulli-Nash social welfare function: log(s(1))+...+log(s(n)) in the limit. As log(0) is minus infinity, this function requires that each voter gets at least one council member, thus it over-represents minorities and insures, that "everyone has their representative" in the council. This function is useless, if all bullet vote for themselves.</div>
<div>If r=0, then F becomes the standard utilitarian function used to calculate Bayesian regret: s(1)+...+s(n), which just counts the number of approvals and is indifferent about the distribution (i.e. if we have two voters and two seats and four candicates a b c d, and the ballots (approve a b) and (approve c d), then all elected councils have the same value of F).</div>
</div><div>If r<0, then F favors winner-takes-it-all block voting.</div><div>As r goes to minus infinity, it favors dictatorial council appointments: max(s(i), 1<=i<=n)</div><div>As r goes to infinity then it becomes min(s(i), 1<=i<=n)</div>
<div>If r is around 0.5, then it seems to prefer droop quota proportionality, at least for the case of two seats and five voters. Maybe there is a value of r or a function to determine the value of r.</div><div><br></div>
<div>Usage for Satisfaction Approval voting (SAV):</div><div><div>The function F can also be used to construct election systems, provided that the utility can be measured (which is the case in Approval voting and in the simulations at: <a href="http://munsterhjelm.no/km/elections/multiwinner_tradeoffs/">http://munsterhjelm.no/km/elections/multiwinner_tradeoffs/</a>).</div>
<div>The task for SAV is to find a suitable value of r, for instance which finds proportional representations meeting the droop quota and optimizes utility. I don't know if there is one, but values of around 1/2 could be a good point to start (i.e. F=(sqrt(s(i))+...+sqrt(s(n)))*2.</div>
</div><div><br></div><div>Other uses:</div><div>It seems that F can be used both as a proportionality index and as a majoritan preference index for suitable values of r.</div><div><br></div><div>F can be used to explain why there are different voting systems - they simply have different values of r, i.e. they have different utility functions. For a suitable value of r, block-voting has higher utility and is thus "better" than proportional representation, like STV.</div>
<div><br></div><div>F can also be used to measure which voting systems are the "best" and to measure the "distance" or "similarity" between voting systems against some benchmark values of r. </div>
<div>It would be cool to see how the chart at <a href="http://munsterhjelm.no/km/elections/multiwinner_tradeoffs/">http://munsterhjelm.no/km/elections/multiwinner_tradeoffs/</a> would look like using F with different values of r at the axis. </div>
<div>For instance, if r=0, then we would get Bayesian regret. </div><div>F with r=0.5 (or some other value of r between 0<r<1) could maybe be used in the chart instead of the Sainte-Lague proportionality index (SLI).</div>
<div><br></div><div>Different proportionality indexes like F with r=0.5 vs SLI could be plotted against each other.</div><div>Maybe F with r=0.5 could be shown to be related to some of the proportionality indexes in <a href="http://www.mcdougall.org.uk/VM/ISSUE20/I20P4.PDF">http://www.mcdougall.org.uk/VM/ISSUE20/I20P4.PDF</a>.</div>
<div><br></div><div>Maybe the index could be generalized for condorcet methods, but I don't know how.</div><div><br></div><div>Best regards</div><div>Peter Zborník</div><div><br></div><div><br></div><br><div class="gmail_quote">
On Sun, May 23, 2010 at 11:03 AM, Kristofer Munsterhjelm <span dir="ltr"><<a href="mailto:km-elmet@broadpark.no">km-elmet@broadpark.no</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex;">
<div class="im"><a href="mailto:fsimmons@pcc.edu" target="_blank">fsimmons@pcc.edu</a> wrote:<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
Satisfaction Approval Voting - A Better Proportional Representation Electoral Method<br>
<br>
One way to generalize Proportional Approval voting to range ballots is by<br>
finding the most natural smooth extension of the function f that takes each<br>
natural number n to the sum<br>
<br>
f(n) = 1 + 1/2 + ... + 1/n.<br>
<br>
It turns out that we can extend f(n) to all positive real values of n via the<br>
integral<br>
<br>
Integral from zero to one of (1-t^n)/(1-t) with respect to t<br>
<br>
For PAV generalized to range ballots, first normalize the ratings to be between<br>
zero and one.<br>
</blockquote>
<br></div>
As might be obvious by my messages, I find Sainte-Lague of interest. What would the integral be for the corresponding "generalized divisor"<br>
C/(n+C)?<br>
<br>
If C is 1, we have D'Hondt. If C is 0.5, we have Sainte-Lague.<div class="im"><br>
<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
Then for each proposed coalition C of k candidates (assuming there are to be k<br>
winners) and each range ballot r, let g(r,C) be f(S) where S is the sum of the<br>
ratings (according to r) of the alternatives in the coalition C.  Elect the<br>
coalition C with the greatest sum of g(r,C) over the range ballots r.<br>
</blockquote>
<br></div>
It would also be possible to do a sequential version, as with PAV.<div class="im"><br>
<br>
<blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
One should take as many nominations of winning coalitions as anybody wants to<br>
submit along with the results of SAV, sequential PAV, STV, and any other<br>
multiwinner method that can be computed from range style (including approval)<br>
ballots, and see which one of them has the highest generalized PAV score.<br>
</blockquote>
<br></div>
Or for that matter, determine its proportionality and BR as by my program. I haven't implemented Approval strategy into it yet, but the generator does rate each candidate (not just rank them), so the Range version could work.<br>

<br>
How would you calculate the harmonic number for fractional values in a program? Perhaps the expansion:<br>
<br>
ln(n) + gamma + 1/2n^-1 - 1/12n^-2 + 1/120n^-4<br>
<br>
would be good enough, at least for test purposes.<div><div class="h5"><br>
----<br>
Election-Methods mailing list - see <a href="http://electorama.com/em" target="_blank">http://electorama.com/em</a> for list info<br>
</div></div></blockquote></div><br>