<br><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">
<br>
Have each voter cast, not "one vote" but rather each voter casts "a<br>
standard gaussian random variable" number of votes of each possible<br>
type.  The voter does not get to control her vote, she only gets to<br>
control the mean of the Gaussians.   So for example, in the<br>
Gandhi-Hitler example, she can use the mean +1 or -1 (and fixed<br>
variance) and that is all.<br></blockquote><div><br>This is a great idea at its heart, but I can see a couple of problems which need fixing. For one thing, you didn't specify that the sum of the means for all vote types must be 1. For another, as stated, this raises the possibility of negative totals for certain vote types - something which many voting systems couldn't handle. For a third, if you keep the variance for each vote type constant, then total variance in "where my vote goes" depends on the square root of the number of vote types - especially problematic for Range voting, which has an unmanageably large number of vote types, even for few candidates.<br>
<br>So, how about this: take all the honest votes. Then, take each vote type. Say there are 8 A>B>C votes (in some ranked system). Instead, use a Poisson distribution around 8. In other words, "There were an essentially infinite number of possible voters who might have voted this way, and 8 of them made it to the polls. If we ran the election again, without changing the probability for each one of them, how many people might make it?"<br>
<br>To be clear: in the Gandhi/Hitler case, the situation where 100% vote Hitler somehow against their will, is not a Nash equilibrium, because each voter sees that there is some finite (though smaller than the number of atoms in the visible universe) probability that a poisson distribution around 1 will be greater than a poisson distribution around the 99,999 other voters still voting Hitler.<br>
<br>Note that in a two-way race like that, honest voting IS a "Poisson/Nash Equilibrium" in this sense.<br><br>Such incredibly tiny probabilities make the presence or absence of this sort of equilibrium very, very dependent on the distributions used. I proposed the Poisson distribution, rather than the Gaussian, because it is well-behaved - two poissons sum to another one, and it is never negative - and justifiable in a hand-waving-story sense. <br>
<br>However, I actually think that this distribution is not realistic. If you rerun an election, things don't just change one voter at a time. Maybe it's raining in the area where most of the A voters live. Maybe candidate B has a minor stroke and starts swearing on national TV. If we allow voters to not make it to the polls and phantom "possible" voters to make it to the polls, why don't we allow the same for powerful endorsers? Etc. The probabilities involved would be small - but essentially everything is bigger than the tiny probabilities needed to sway the equilibrium. So we need some distribution where different vote types are (weakly) correlated by some "distance matrix", but which is still summable between any two random slices of the electorate as the Poisson distribution was. Such a distribution would have "fatter tails" than the Poisson, because of the autocorrelation within each vote type. I'm sure such a distribution exists, but I don't have the math fu to know if it's known, and even less so to derive it if unknown.<br>
<br>But the very existence of alternative distributions throws this whole thing into some doubt. If situation X were shown to be a "Poisson Nash equilibrium" but not (say) a "Lognormal Nash equilibrium", what would that mean?<br>
<br>Anyway, good job, Warren.<br><br>I would like to compare your idea with the idea which may have prompted it, my "bloc Nash equilibrium" which I mentioned in our recent private exchange. The "bloc Nash equilibrium" regards each bloc of voters with a given honest vote type as a single player, able to determine (through some kind of secret collusion) as many ballots as it has members. You criticized this idea because it allows collusion, the precise thing the Nash equilibrium was invented to avoid. Still, the idea has content; unlike the plain Nash equilibrium, there are some interesting cases which are not bloc Nash equilibria and some which are, and I still find this interesting. My criticism of this idea would be the opposite of yours: by segregating each specific vote type, it doesn't allow ENOUGH collaboration. Something which is not a bloc Nash equilibrium can easily be made into one by a sprinkling of clones; as the blocs randomly break into pieces over their random opinions of which clone is slightly better, we return to the plain Nash equilibrium problem: there's so many players that essentially nobody is ever pivotal and so everything's a bloc Nash equilibrium.<br>
<br>So, to compare: using the scenario from the range voting DH3/Condorcet page:<br><br><table cellpadding="5" bgcolor="yellow" border="3">
<caption> A simple DH3 scenario (honest votes). The notation "X,Y"
means a <td><i>mixture</i> of X>Y and Y>X votes whose composition is not 
immediately known.
 </td></caption>
<tbody><tr>
<th> #voters </th>
<th> Their Vote </th>
</tr>
<tr>
<td align="center">
   37
</td>
<td align="center">
 C>A,B>D
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">
    32
</td><td align="center">
  A>B,C>D
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">
    31
</td><td align="center">
   B>A,C>D
</td>
</tr>
</tbody></table>


<br>Of course, the Nash equilibrium does not consider probabilistic outcomes or unknowns. So, let's make the "A,B" splits exactly 50/50, and fix it so that there's a perfect tie between the A and B voters - that is, add one B>A,C>D voter. Now, if the A and B blocs both bury, they will exactly tie for the win in most Condorcet tiebreakers, and so split the utility with a coin flip. <br>
<br>So, with the "Gaussian Nash equilibrium", an A voter considering burial will see three infinitesimal probabilities, each vastly smaller than the preceding ones: my burial causes A or B to win; A or B wins without my burial; and my burial causes D to win. Thus, burial increases utility, and so honest voting is not an equilibrium. (With a "poisson Nash equilibrium", it is, unless there is at least one honest B>D>C or A>D>C voter; but you could fix that with some tiny poisson for unvoted ballot types).<br>
<br>Note that a "correlated/fat tailed" Nash equilibrium could easily exist. If the number of B>D>CA votes is correlated to the number of C>D>AB votes, then an extra A>D>CB vote could easily cause a greater chance of a D win than of an A or B win. Personally, I find this scenario more plausible than the pure Poisson one, but my arguments are complicated not at all bulletproof.<br>
<br>Is there a "bloc Nash equilibrium"? Yes, because if only the A bloc, or only the B bloc, buries, it does not affect the result. <br><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

I am not sure what the Nash equilibrium (or equilibria?) are, but I am sure that<br>
honest voting is not it, because each individual voter finds burial to<br>
be an "improvement."   Presumably the Nash strategy in that scenario<br>
will be a probability-mixture of honest and strategic votes.<br></blockquote><div><br>This is interesting. My "poisson" fix to your scheme does not allow probability-mixture votes. And yet Nash's proof still holds: there must be some equilibrium. And your argument holds in some cases: all honest voting is sometimes NOT that equilibrium. I guess that you can replace probability-mixture for individual voters by splitting up the votes of the honest blocs so that some pair two identical voters are assumed to vote differently, but neither of them could improve their mutual expected result by switching their own vote. My brain hurts.<br>
</div></div>