<DIV>Jobst,</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>This reminds me of your two urn method based on approval ballots:</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Initialize with all ballots in the first urn.</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>While any ballots are left in the first urn ...</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>    find the approval winner X of these remaining ballots</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>    circle candidate X on all of the ballots in the first urn that approve candidate X, and then transfer them to the second urn.</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>End While</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Elect the circled candidate on a randomly drawn ballot from the second urn.</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>It looks like your newest method is a variation where "Approval" is interpreted as "positive rating," and X is circled only on those ballots that rate X sufficiently high* relative to the number of (remaining) ballots that do not approve X.   </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>If 99% of the (remaining) ballots do not approve X, then X is circled only on those ballots that rate X above 99%.  If less than 1% of the (remaining) ballots do not approve X, then even a ballot that rates X at a mere 1% would get a circle around X.</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>The exact relation between the required rating relative to the lack of approval (on the remaining ballots) can be played with to get variations of this method.</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>In this method there is no need to rate any candidate that the voter cannot conceive of as a compromise.  Therefore it seems quite natural to consider positive rating as some level of approval.</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>
<DIV>*Some provision must be made for ties and for the case where no ballot rates the current X high enough to get transfered into the second urn.</DIV></DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Does that capture the idea?</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Forest</DIV>
<DIV><BR><BR>----- Original Message -----<BR>From: Jobst Heitzig <HEITZIG-J@WEB.DE><BR>Date: Thursday, November 6, 2008 3:37 pm<BR>Subject: Re: [EM] Some chance for consensus (was: Buying Votes)<BR>To: fsimmons@pcc.edu<BR>Cc: gregory.nisbet@gmail.com, election-methods@lists.electorama.com, Raph Frank <RAPHFRK@GMAIL.COM>, Kristofer Munsterhjelm <KM-ELMET@BROADPARK.NO><BR><BR>> Hi again,<BR>> <BR>> here's another, somewhat more stable method which also achieves <BR>> the <BR>> following:<BR>> <BR>> > ...<BR>> > provides for strategic equilibria in which C is elected with <BR>> 100%, 55%,<BR>> > and 100% probability, respectively, in the following situations:<BR>> > <BR>> > Situation 1:<BR>> > 55% A(100)>C(70)>B(0)<BR>> > 45% B(100)>C(70)>A(0)<BR>> > <BR>> > Situation 2:<BR>> > 30% A(100)>C(70)>B,D(0)<BR>> > 25% B(100)>C(70)>A,D(0)<BR>> > 45% D(100)>A,B,C(0)<BR>> > <BR>> > Situation 3:<BR>> > 32% A(100)>C(40)>B,D(0)<BR>> > 33% B(100)>C(40)>A,D(0)<BR>> > 35% D(100)>C(40)>A,B(0)<BR>> > <BR>> > (All these being sincere utilities)<BR>> > ...<BR>> <BR>> <BR>> The idea is that for each possible compromise option C, a voter <BR>> indicates, by a rating on her ballot, how many voters she <BR>> requires to <BR>> transfer their winning probability to C before she will do so, too.<BR>> <BR>> <BR>> This is the method:<BR>> <BR>> 1. Each of the N voters rates on her ballot each option between <BR>> 0 and 100.<BR>> <BR>> 2. For each option X, put<BR>> s(X) = no. of ballots rating X at zero.<BR>> <BR>> 3. Put all ballots into a first urn labelled U1, and have <BR>> another urn <BR>> labelled U2, initially empty.<BR>> <BR>> 4. For each option X, in order of ascending s(X), do the following:<BR>> <BR>> 4.1 Find the smallest number R for which f(R) >= 100, where<BR>> f(R) = R + 100 * (no. of ballots in U1 rating X above R) / N.<BR>> <BR>> 4.2 For each ballot in U1 rating X above R: Mark X on that <BR>> ballot and <BR>> move the ballot from U1 to U2.<BR>> <BR>> 5. On each of the ballots that remained in U1, mark the option <BR>> with the <BR>> highest rating on that ballot and also put the ballot into U2.<BR>> <BR>> 6. Draw one ballot at random. The option marked on that ballot wins.<BR>> <BR>> <BR>> (By "above", we mean strictly above and not equal, of course.)<BR>> <BR>> If there is only one compromise option C besides some polar <BR>> favourite <BR>> options A,B,... , the method essentially simplifies to this:<BR>> - Find the smallest R such that at least 100-R percent of the <BR>> ballots <BR>> rate C above R.<BR>> - Then draw a ballot at random. If it rates C above R, C wins, <BR>> otherwise <BR>> the option with the largest rating of that ballot wins.<BR>> <BR>> <BR>> Let's look at the three example situations:<BR>> <BR>> Situation 1 (sincere utilities):<BR>> 55: A(100)>C(70)>B(0)<BR>> 45: B(100)>C(70)>A(0)<BR>> <BR>> Take any pair of numbers x,y such that<BR>> <BR>> 0 <= x <= 55,<BR>> 0 <= y <= 45,<BR>> x + y > 55,<BR>> x > 3y/7, and<BR>> y > 3x/7.<BR>> <BR>> It is easy to check from the above true ratings that then all <BR>> voters <BR>> would gain if x of the A-voters and y of the B-voters <BR>> transferred their <BR>> winning probability to C. The voters can make sure this happens <BR>> in the <BR>> suggested method by voting this way:<BR>> <BR>> 55-x: A(100)>C(0)=B(0)<BR>> x: A(100)>C(101-x-y)>B(0)<BR>> y: B(100)>C(101-x-y)>A(0)<BR>> 45-y: B(100)>C(0)=A(0)<BR>> <BR>> The method would begin with C (receiving the smallest numbers of <BR>> 0-rates), find R=100-x-y, and mark C on all the x+y ballots, <BR>> resulting <BR>> in these winning probabilities: A:55-x, B:45-y, C:x+y.<BR>> <BR>> No voter has an incentive to reduce her C-rating since that <BR>> would <BR>> immediately move R to 100 and C's winning probability to 0.<BR>> <BR>> So, for each such pair (x,y), the above way of voting is a <BR>> strategic <BR>> equilibrium, the socially best of whose is the one where x=55 <BR>> and y=45, <BR>> C wins with certainty, and the ballots look like this:<BR>> <BR>> 55: A(100)>C(1)>B(0)<BR>> 45: B(100)>C(1)>A(0)<BR>> <BR>> <BR>> Situation 2 (sincere utilities):<BR>> 30: A(100)>C(70)>B,D(0)<BR>> 25: B(100)>C(70)>A,D(0)<BR>> 45: D(100)>A,B,C(0)<BR>> <BR>> Here the only difference is that we require x+y>30 instead of <BR>> 55. For <BR>> each pair (x,y) with...<BR>> <BR>> 0 <= x <= 30,<BR>> 0 <= y <= 25,<BR>> x + y > 30,<BR>> x > 3y/7, and<BR>> y > 3x/7.<BR>> <BR>> ...the following is an equilibrium way of voting which gives C a <BR>> winning <BR>> probability of x+y:<BR>> <BR>> 30-x: A(100)>B,C,D(0)<BR>> x: A(100)>C(101-x-y)>B,D(0)<BR>> y: B(100)>C(101-x-y)>A,D(0)<BR>> 25-y: B(100)>A,C,D(0)<BR>> 45: D(100)>A,B,C(0)<BR>> <BR>> Here, the method starts with either X=C or X=D since one of them <BR>> has the <BR>> smallest s(X). Both ways, C will eventually be marked on the x+y <BR>> ballots <BR>> (at R=100-x-y) and D on the 45 ballots (at R=55).<BR>> <BR>> In particular, the socially optimal equilibrium is<BR>> <BR>> 30: A(100)>C(46)>B,D(0)<BR>> 25: B(100)>C(46)>A,D(0)<BR>> 45: D(100)>A,B,C(0),<BR>> <BR>> resulting in the winning probabilities 55% for C and 45% for D.<BR>> <BR>> <BR>> Situation 3 (sincere utilities):<BR>> 32: A(100)>C(40)>B,D(0)<BR>> 33: B(100)>C(40)>A,D(0)<BR>> 35: D(100)>C(40)>A,B(0)<BR>> <BR>> Here we consider triples of numbers x,y,z such that<BR>> <BR>> 0 <= x <= 32,<BR>> 0 <= y <= 33,<BR>> 0 <= z <= 35,<BR>> x + y + z > 35,<BR>> x + y > 3z/2,<BR>> y + z > 3x/2, and<BR>> z + x > 3y/2.<BR>> <BR>> In that case, the following is a voting equilibrium:<BR>> <BR>> x: A(100)>C(101-x-y-z)>B,D(0)<BR>> y: B(100)>C(101-x-y-z)>A,D(0)<BR>> z: D(100)>C(101-x-y-z)>A,B(0)<BR>> 32-x: A(100)>B,C,D(0)<BR>> 33-y: B(100)>A,C,D(0)<BR>> 35-z: D(100)>A,B,C(0)<BR>> <BR>> As in situation 1, the socially best equilibrium is when all <BR>> voters <BR>> cooperate by rating C at 1, making C the sure winner.<BR>> <BR>> <BR>> It seem the advantage of this method is that it is more stable <BR>> than the <BR>> first one, having a lot more desirable equilibria which. <BR>> However, the <BR>> socially optimal equilibria require a somewhat strange way of <BR>> voting in <BR>> which you understate your true rating of the compromise in order <BR>> to make <BR>> sure not to give others an incentive to reduce their rating and <BR>> thereby <BR>> lessen the compromise's winning probability...<BR>> <BR>> What do you make of this?<BR>> <BR>> Yours, Jobst<BR>> <BR></DIV>