2008/1/1, Steve Eppley <<a href="mailto:SEppley@alumni.caltech.edu">SEppley@alumni.caltech.edu</a>>:<div><span class="gmail_quote"></span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

I think the method Diego Santos is considering can elect outside the<br>Smith set (a.k.a. top cycle), depending on the tie-breaker.  Here's an<br>example with 21 voters and 4 candidates:<br><br>    4    4    4    3    3    3

<br>   ---  ---  ---  ---  ---  ---<br>    A    B    C    D    D    D<br>    B    C    A    A    B    C<br>    C    A    B    B    C    A<br>    D    D    D    C    A    B<br><br>{A,B,C} is a set of clones in a "vicious" cycle. (By vicious, I mean all

<br>margins in the cycle are large.  I think Mike Ossipoff may have been<br>first to use the term, many years ago.)  What makes this scenario very<br>rare (assuming many voters) is that the margins in the vicious cycle are

<br>equal:<br><br>   A over B by (4+4+3+3) - (4+3) = 7<br>   B over C by (4+4+3+3) - (4+3) = 7<br>   C over A by (4+4+3+3) - (4+3) = 7<br><br>The Smith set is {A,B,C}.  Can D win?  If I understand Diego's<br>definition, D is not eliminated since the margin in D's pairwise defeats

<br>is smallest (12 - 9 = 3).  I think A and B and C are also not eliminated<br>since there's a tie in their cycle's margins.  Thus the set of<br>non-eliminated candidates is {A,B,C,D}.  Among {A,B,C,D} there is no

<br>Condorcet winner.  So, a tiebreaker must select from {A,B,C,D}.  If the<br>tiebreaker can select outside the Smith set, D can be elected.  Typical<br>tiebreakers (Random, Random Voter's Ballot, Chairperson's Choice) can

select outside the Smith set. </blockquote></div> A possible tiebraker can be: "if no Condorcet Winner exists among non-eliminated candidates, reuse this method with one of equal margins 'pseudo-augmented'" selected at random.

<br><br>In Steve's example, we can select, for instance, B win over C as "pseudo-augmented" (marked with an asterisk):<br><br><span style="font-family: courier new,monospace;">A(7): C(7,7*)</span><br style="font-family: courier new,monospace;">

<span style="font-family: courier new,monospace;">B(7): A(7,7)</span><br style="font-family: courier new,monospace;"><span style="font-family: courier new,monospace;">C(7*): B(7*,7)                    eliminated</span><br style="font-family: courier new,monospace;">

<span style="font-family: courier new,monospace;">D(3): A(3,7), B(3,7), C(3,7*) Then a member of the "vicious circle" is disqualified. New set: {A, B, D}, and A wins. But uses of this tiebraker would be too rare.

<br>________________________________<br>Diego Renato dos Santos<br>