Just a random thought I had the other day for a PR system that would work using only single-winner districts.<br>
<br>
Every candidate has the option of declaring a party affiliation. 
If a candidate does not declare a party affiliation, then they are a
"party of one" for the purposes of the algorithm.<br>
<br>
After the election is completed in all N districts, the votes cast for
each party in all districts are totalled.  Seats are then
allocated to each "party" using a typical aportionment scheme
(webster's method, for instance).<br>
<br>
The winners of the election are found by maximizing the number of
voters who voted for the winning candidates, with the constraints that:<br>
<br>
1)  Each "party" gets their appropriate number of seats<br>
2)  Each district elects exactly one candidate.<br>
<br>
This will produce some strange results in certain cases.  For
instance, if the Greens poll at some consistent low percentage all
around a state, then they might elect one candidate from a district
somewhere, even though that candidate finished a distant third in the
election in that district.  But that district does get local
representation, and proportionality across the state is preserved.<br>
<br>
In the case where there are only two parties, then it's easy to see
what the result will be.  Imagine party A gets 55% of the vote in
a 20-seat legislature, while party B gets 45% of the vote.  Then
the 11 party A candidates who polled highest will be elected, and the
other 9 districts will be won by party B.  This would be true even
if the party A candidate won 75% of the districts due to Gerrymandering.<br>
<br>
I don't claim that this is a great, or even an especially good PR
method.  But it has the distinction that it works using simple
plurality voting in single-member districts.<br>
<br>
-Adam<br>