<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN">
<html>
<head>
  <title></title>
</head>
<body>
Apologies Participants,<br>
The penny has finally dropped that I have been misunderstanding Woodall's
"Quota-Limited Trickle-Down" (QLTD) method.<br>
So my remark that it is "obviously easier to hand-count than Bucklin" is
wrong, but other than that I have not mis-represented<br>
its properties. In common with Bucklin and Highest Median Rank (HMR), it
fails Clone Independence and  Mono-add-top.<br>
<br>
But I did get one result wrong in my last post.<br>
<blockquote type="cite">40: A>B>C <br>
25: B>A>C <br>
35: C>B>A <br>
100 ballots. B is the CW. <br>
 <br>
</blockquote>
I  wrongly wrote that A is the QLTD winner. In fact the QLTD winner is B.<br>
The "quota" is 50 (%). To reach this, A  needs (10/25 = .4) of  his second
preferences, whereas B needs (25/75 = .33333)<br>
of  his second preferences to reach the quota. C  needs (15/40 = .375). B's
fraction is the smallest, so B wins.<br>
<br>
My  Wed. Apr. 21 post (with the error corrected):<br>
<br>
 
<div class="moz-text-flowed"
 style="font-family: -moz-fixed; font-size: 13px;" lang="x-western"> Mike,
Dave, Forest, Kevin, anyone interested, <br>
 <br>
 <br>
I previously wrote (Sun.Apr.11): <br>
 <br>
<blockquote type="cite">Plain  WMA, as  I  have defined it,  is descended
from an earlier  version (from Joe Weinstein, Forest tells us) in which each
ballot <br>
approves  as many of  the highest-ranked candidates as possible  without
their combined weight exceeding half the total weight, <br>
and then only approves the next ranked candidate if the weight of  candidates
ranked below this (pivot) candidate is greater  than <br>
the weight of candidates ranked above it. If the two weights are  equal,
then the ballot half-approves that candidate. <br>
The problem with this is that  it fails 3-candidate Condorcet. To  distinguish
it, this earlier version could perhaps be called <br>
"Above Median Weighted Approval" (AMWA).  </blockquote>
 <br>
I had in mind this relatively simple type of example: <br>
 <br>
40: A>B>C <br>
25: B>A>C <br>
35: C>B>A <br>
100 ballots. B is the CW. <br>
 <br>
Weights   A:40     B:25     C:35 <br>
AMWA  approvals <br>
40: A      (not B as in WMA, because A  has a greater weight than C.) <br>
25: BA    (because C  has a greater weight than B) <br>
35: CB <br>
AMWA final scores       A: 65     B: 60    C: 35,     A  wins. <br>
 <br>
WMA easily elects B (with 100% "approval").  Bucklin,  "Highest  Median Rank"
(HMR), and QLTD also<br>
elect B. <br>
 <br>
However I was wrong to imply that WMA meets 3-candidate Condorcet. <br>
An example adapted from one of  Woodall's: <br>
300: A <br>
200: A>C>B <br>
300: B>C>A <br>
200: B>A>C <br>
300: C>A>B <br>
199: C>B>A <br>
1499 ballots. C is  CW. <br>
 <br>
WMA final scores     A: 1000      B: 699     C: 999,   A wins. (AMWA is  the
same, except that C scores 799). <br>
WMA-STV  eliminates B, and then elects C. <br>
Bucklin and its close relatives elect A. <br>
I  adapted this from Woodall's proof that Condorcet is incompatible with
 Later-no-help (and also mono-raise-random, <br>
mono-raise-delete, mono-sub-top, mono-sub-plump)  in his paper  "Monotonicity
and Single-Seat Election Rules", <br>
page 13, "Election 6". <br>
<a class="moz-txt-link-freetext"
 href="http://groups.yahoo.com/group/election-methods-list/files/wood1996.pdf">http://groups.yahoo.com/group/election-methods-list/files/wood1996.pdf</a> 
<br>
So  WMA, in common with Bucklin, QLTD, and HMR fail  3-candidate Condorcet. 
<br>
I can't see how WMA-STV can fail to meet it. <br>
 <br>
This is "Election 2" from the same paper (page 11): <br>
12: A>B>C>D>E>F <br>
11: C>A>B>D>E>F <br>
10: B>C>A>D>E>F <br>
27: D>E>F <br>
60 ballots. Smith set comprises ABC. <br>
 <br>
Bucklin, QLTD, HMR agree with WMA  (and RP and BP) in electing A.  WMA-STV 
elects C. <br>
 <br>
Weights   A:12    B:10   C:11   D:27   E:0   F:0 <br>
WMA approvals <br>
12: ABC <br>
11: CAB <br>
10: BCA <br>
27: DEF <br>
 <br>
ABC are all tied on 33, but we break the tie in favour of the candidate  with
the greatest "weight", A. <br>
Also using weights to break ties to fix the WMA-STV elimination  schedule,
we eliminate first F and E and then D  and then B, <br>
and then C wins  (C>A, 21-12). <br>
 <br>
Now we add  6 A>D ballots: <br>
12: A>B>C>D>E>F <br>
06:A>D <br>
11: C>A>B>D>E>F <br>
10: B>C>A>D>E>F <br>
27: D>E>F <br>
66 ballots. Smith set is ABCD, Schwartz set is ABC. <br>
 <br>
Now Bucklin, HMR, and QLTD all elect D. Adding ballots all with A ranked
 first, causing A to lose, demonstrates that those methods fail  Mono-add-top. 
<br>
 <br>
Weights    A:18    B:10    C:11    D:27    E:0    F:0 <br>
WMA approvals <br>
12: ABC <br>
06: AD <br>
11: CAB <br>
10: BCA <br>
27: DEF <br>
WMA final scores     A :39     B:33    C:33    D:33    E:27    F:27,    A 
wins. <br>
WMA-STV eliminates F and E,  and then B (the "lightest" 33), and then C,
 and  then A wins (A>D, 39-27). (Ranked Pairs and Beat Path also pick
A.)<br>
 <br>
It seems to me that WMA and  WMA-STV meet  Mono-add-top. <br>
 <br>
Chris Benham <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
 <br>
</div>
<br>
</body>
</html>