[EM] Condorcet's Words, Part I

[Stephane Rouillon]

I put the best translation I can produce (and add my comments in
parenthesis).

Markus,

If one wants to apply what we have just said to the case when
(where) there is a number n of Candidates, one can follow the
following rules:
1.° all possible personal advice (opinion), and not implying any
contradiction, reduce to indicate a merit order (ranking) that
one judges taking place between the Candidates. For example, the 6
personal advices above reduce to the 6 combinations (1) A, B, C;
(2) A, C, B; (4) C, A, B; (5) B, A, C; (7) B, C, A; (8) C, B, A, that we
mark here using the same numbers that the corresponding personal advices
(see page 120), and indicating the different order in which A, B, C can be
arranged (ranked). Thus, for n Candidates, one will have n*(n-1)*...*2
possible personal advices;
2.° Each Voter having given its advice, by indicating the order of value
(ranking) of the Candidates, if one compares them two by two, one
will have for each advice n*(n-1)/2 propositions to consider separately. (At

this point we can see that Condorcet supposes that every voter produces a
full ranking so the margin, relative margin or winning-votes debate is not
a problem, at least in this text...) Taking the number of times each
proposition
is contained within the advice of one of the q Voters, one will have the
number of
votes (voices) that adopt each proposition.
3.° one will form an advice from the n*(n-1)/2 propositions that regroup
the more votes. If this advice is among the n*(n-1)*...*2 possible advices,
one will consider as elected the Subject (Person)
to who this advice gives the preference. If this advice is among the
2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 impossible advices, then one will successively
put aside from this impossible advice the propositions that have a lesser
plurality,
and one will adopt the resulting advice obtained from the kept propositions.

(We can summarize Condorcet's words by: keep removing the lesser plurality
proposition until you get a feasible advice. The problem is that if you
follow this
procedure you can obtain a different result than the one predicted. From
Condorcet's definition an impossible advice contains at least one cycle and
thus the graph of propositions does not contain an elementary path
summarizing
the resulting order. It is possible following his instructions to obtain a
resulting
elementary path. But the garanteed result is a set of disconnected
elementary
subnetworks, some containing only one node, the set covering all nodes.
Typically you could get several disconnected subgraphs containing cycles
that
will end up each as one elementary subnetwork or you can get one subgraph
containing a cycle that ends up as several elementary subnetworks because
some equal weight pairwise victories are removed at the same time, or some
combinations of both. I think it covers all cases, you are welcome to
confirm
and to give a proof...)

4.°  To be continued...

Markus Schulze a écrit :

> Dear Stephane,
>
> in so far as you are the unique French speaking person in
> this mailing list, I would like to ask you how you interpret
> Condorcet's proposal for more than 3 candidates. Condorcet
> wrote ("Essai sur l'application de l'analyse a la probabilité
> des décisions rendues à la pluralité des voix," Imprimerie
> Royale, Paris, pp. 125-128, 1785):
>
>    Si on veut appliquer ce que nous venons de dire au cas
>    où il y a un nombre n de Candidats, on pourra suivre les
>    règles suivantes: 1.° tous les avis possibles, & qui
>    n'impliquent pas contradiction, se réduisent à indiquer
>    l'ordre de mérite que l'on juge avoir lieu entre les
>    Candidats. Par exemple, les six avis ci-dessus se
>    réduisent aux six combinaisons (1) A, B, C; (2) A, C, B;
>    (4) C, A, B; (5) B, A, C; (7) B, C, A; (8) C, B, A, que
>    nous marquons ici des mêmes numéros que les avis qui y
>    répondent (voyez page 120), & qui indiquent les différens
>    ordres, suivant lesquels A, B, C peuvent êtres rangés.
>    Donc pour n Candidats, on aura n*(n-1)*...*2 avis possibles;
>    2.° Chaque Votant ayant donné ainsi son avis, en indiquant
>    l'ordre de valeur des Candidats, si on les compare deux à
>    deux, on aura dans chaque avis n*(n-1)/2 propositions à
>    considérer séparément. Prenant le nombre de chaque fois
>    que chacune est comprise dans l'avis d'un des q Votans,
>    on aura le nombre de voix qui adoptent chaque proposition;
>    3.° on formera un avis des n*(n-1)/2 propositions qui
>    réunissent le plus de voix. Si cet avis est du nombre
>    des n*(n-1)*...*2 avis possibles, on regardera comme élu
>    le Sujet à qui cet avis accorde la préférence. Si cet
>    avis est du nombre de 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis
>    impossibles, alors on écartera de cet avis impossible
>    successivement les propositions qui ont une moindre
>    pluralité, & l'on adoptera l'avis résultant de celles
>    qui restent; 4.° dans le cas où l'on ne sera pas obligé
>    d'élire, & où l'on pourra différer, on examinera la
>    probabilité des avis réunis qui donnent la préférence
>    à A, à B, à C, &c. & on n'admettra l'élection que
>    lorsqu'il résulte en faveur d'un des Candidats une
>    probabilité plus grande que 1/2; ce qui ne peut avoir
>    lieu dans le cas où le résultat des voix conduit à un
>    des 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis absurdes, & n'a
>    lieu dans le cas des n*(n-1)*...*2 autres avis, que
>    lorsque chacune des n-1 propositions A > B, A > C, &c.
>    qui forment essentiellement l'avis en faveur de A, par
>    exemple, sont celles qui réunissent le plus de voix;
>    il y a cependant une très-grande différence entre ce
>    cas & celui d'un avis impossible. Dans ce dernier cas,
>    on est obligé d'admettre une proposition qui a réellement
>    la pluralité contr'elle, ce qui n'a pas lieu ici: ainsi
>    lorsqu'il y a des inconvéniens à différer l'élection, on
>    peut admettre l'avis possible, pris comme nous l'avons
>    exposé ci-dessus; au lieu qu'il faut une véritable
>    nécessité d'élire pour adopter l'avis lorsque les
>    propositions qui le forment impliquent contradiction;
>    5.° on ne peut choisir une méthode plus simple.
>    Supposons en effet pour trois Candidats, qu'on se borne
>    à demander si A > B, si A > C, & qu'il en résulte une
>    votation positive en faveur des deux énoncés, on aura
>    à la vérité une décision conforme à celle que nous
>    avons montré ci-dessus qu'il falloit choisir, pages
>    123 & suiv. Si on a une votation positive pour la
>    première proposition, négative pour la seconde, alors
>    on ne sera pas en droit d'en conclure en faveur de C,
>    comme ces deux propositions paroissent l'indiquer,
>    puisque nous avons vu que, dans le même cas, la
>    décision peut être en faveur de A, si on décide que
>    B > C, & que des trois propositions A < C soit la
>    moins probable; en faveur de B, si de trois propositions
>    A > B est la moins probable; en faveur de C, si des
>    trois propositions B > C est la moins probable, ou dans
>    le cas de la votations en faveur de C > B, cas qui est
>    compris dans celui où B > C est supposée la moins
>    probable des trois propositions. De plus, il est
>    évident qu'en admettant cette méthode, on auroit des
>    résultats différens, suivant qu'on commenceroit à
>    délibérer sur la suite des propositions A > B, A > C
>    ... ou B > A, B > C, ou C > A, C > B; 6.° il est
>    nécessaire de connoître le nombre des Candidats, &
>    toute élection exige nécessairement que par une
>    première votation on ait décidé sur la capacité des
>    Candidats, dans le cas où l'avis seroit adopté, même
>    s'il n'étoit pas formé des n-1 propositions qui ont
>    la pluralité; 7.° si le nombre des Votans est très-grand,
>    & la probabilité de l'avis de chacun très-peu au-dessus
>    de 1/2, il devient très-difficile, à proportion que le
>    nombre des Candidats est plus grand, d'obtenir une
>    décision qui ait un degré de probabilité au-dessus de
>    1/2. Ainsi on ne doit confier à une grande assemblée
>    le choix qu'entre des Candidats qui ont été d'ailleurs
>    jugés très-capables, avec une probabilité très-grande,
>    ou bien le droit de présenter à une assemblée moins
>    nombreuse & plus éclairée un certain nombre de
>    Candidats. En général toute élection faite par un
>    grand nombre d'hommes, conduit à une très-petite
>    probabilité que l'on a choisi le meilleur.
>
> Markus Schulze
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