[EM] Condorcet's Words

[Markus Schulze]

Dear Stephane,

in so far as you are the unique French speaking person in
this mailing list, I would like to ask you how you interpret
Condorcet's proposal for more than 3 candidates. Condorcet
wrote ("Essai sur l'application de l'analyse a la probabilité
des décisions rendues à la pluralité des voix," Imprimerie
Royale, Paris, pp. 125-128, 1785):

   Si on veut appliquer ce que nous venons de dire au cas
   où il y a un nombre n de Candidats, on pourra suivre les
   règles suivantes: 1.° tous les avis possibles, & qui
   n'impliquent pas contradiction, se réduisent à indiquer
   l'ordre de mérite que l'on juge avoir lieu entre les
   Candidats. Par exemple, les six avis ci-dessus se
   réduisent aux six combinaisons (1) A, B, C; (2) A, C, B;
   (4) C, A, B; (5) B, A, C; (7) B, C, A; (8) C, B, A, que
   nous marquons ici des mêmes numéros que les avis qui y
   répondent (voyez page 120), & qui indiquent les différens
   ordres, suivant lesquels A, B, C peuvent êtres rangés.
   Donc pour n Candidats, on aura n*(n-1)*...*2 avis possibles;
   2.° Chaque Votant ayant donné ainsi son avis, en indiquant
   l'ordre de valeur des Candidats, si on les compare deux à
   deux, on aura dans chaque avis n*(n-1)/2 propositions à
   considérer séparément. Prenant le nombre de chaque fois
   que chacune est comprise dans l'avis d'un des q Votans,
   on aura le nombre de voix qui adoptent chaque proposition;
   3.° on formera un avis des n*(n-1)/2 propositions qui
   réunissent le plus de voix. Si cet avis est du nombre
   des n*(n-1)*...*2 avis possibles, on regardera comme élu
   le Sujet à qui cet avis accorde la préférence. Si cet
   avis est du nombre de 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis
   impossibles, alors on écartera de cet avis impossible
   successivement les propositions qui ont une moindre
   pluralité, & l'on adoptera l'avis résultant de celles
   qui restent; 4.° dans le cas où l'on ne sera pas obligé
   d'élire, & où l'on pourra différer, on examinera la
   probabilité des avis réunis qui donnent la préférence
   à A, à B, à C, &c. & on n'admettra l'élection que
   lorsqu'il résulte en faveur d'un des Candidats une
   probabilité plus grande que 1/2; ce qui ne peut avoir
   lieu dans le cas où le résultat des voix conduit à un
   des 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis absurdes, & n'a
   lieu dans le cas des n*(n-1)*...*2 autres avis, que
   lorsque chacune des n-1 propositions A > B, A > C, &c.
   qui forment essentiellement l'avis en faveur de A, par
   exemple, sont celles qui réunissent le plus de voix;
   il y a cependant une très-grande différence entre ce
   cas & celui d'un avis impossible. Dans ce dernier cas,
   on est obligé d'admettre une proposition qui a réellement
   la pluralité contr'elle, ce qui n'a pas lieu ici: ainsi
   lorsqu'il y a des inconvéniens à différer l'élection, on
   peut admettre l'avis possible, pris comme nous l'avons
   exposé ci-dessus; au lieu qu'il faut une véritable
   nécessité d'élire pour adopter l'avis lorsque les
   propositions qui le forment impliquent contradiction;
   5.° on ne peut choisir une méthode plus simple.
   Supposons en effet pour trois Candidats, qu'on se borne
   à demander si A > B, si A > C, & qu'il en résulte une
   votation positive en faveur des deux énoncés, on aura
   à la vérité une décision conforme à celle que nous
   avons montré ci-dessus qu'il falloit choisir, pages
   123 & suiv. Si on a une votation positive pour la
   première proposition, négative pour la seconde, alors
   on ne sera pas en droit d'en conclure en faveur de C,
   comme ces deux propositions paroissent l'indiquer,
   puisque nous avons vu que, dans le même cas, la
   décision peut être en faveur de A, si on décide que
   B > C, & que des trois propositions A < C soit la
   moins probable; en faveur de B, si de trois propositions
   A > B est la moins probable; en faveur de C, si des
   trois propositions B > C est la moins probable, ou dans
   le cas de la votations en faveur de C > B, cas qui est
   compris dans celui où B > C est supposée la moins
   probable des trois propositions. De plus, il est
   évident qu'en admettant cette méthode, on auroit des
   résultats différens, suivant qu'on commenceroit à
   délibérer sur la suite des propositions A > B, A > C
   ... ou B > A, B > C, ou C > A, C > B; 6.° il est
   nécessaire de connoître le nombre des Candidats, &
   toute élection exige nécessairement que par une
   première votation on ait décidé sur la capacité des
   Candidats, dans le cas où l'avis seroit adopté, même
   s'il n'étoit pas formé des n-1 propositions qui ont
   la pluralité; 7.° si le nombre des Votans est très-grand,
   & la probabilité de l'avis de chacun très-peu au-dessus
   de 1/2, il devient très-difficile, à proportion que le
   nombre des Candidats est plus grand, d'obtenir une
   décision qui ait un degré de probabilité au-dessus de
   1/2. Ainsi on ne doit confier à une grande assemblée
   le choix qu'entre des Candidats qui ont été d'ailleurs
   jugés très-capables, avec une probabilité très-grande,
   ou bien le droit de présenter à une assemblée moins
   nombreuse & plus éclairée un certain nombre de
   Candidats. En général toute élection faite par un
   grand nombre d'hommes, conduit à une très-petite
   probabilité que l'on a choisi le meilleur.

Markus Schulze

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